枚举小于最大值的所有因子产品答案

【问题标题】：Enumeration of all factor products less than a maximum枚举小于最大值的所有因子产品
【发布时间】：2013-07-25 00:51:14
【问题描述】：

我想枚举一些整数因子的所有可能乘积，只达到某个最大值：

P((2, 3, 11), 10) 将返回 (2, 3, 4, 6, 8, 9)。
P((5, 7, 13), 30) 将返回 (5, 7, 13, 25)。

这似乎是一个树遍历，一旦达到最大值，树枝就会停止生长，但我不知道树枝数量的界限是多少。对于这个问题，推荐什么算法或习语？到目前为止我看到的最接近的东西是itertools.product()，它似乎为每个输出集设置了固定数量的术语（例如 2）。

对于上下文，我正在尝试检查与 n 互质的数字。在这种情况下，n 本身是上限，并且因子列表是 n 的因子。我试着概括一下上面的问题。

【问题讨论】：

标签： python algorithm permutation primes factors

【解决方案1】：

我喜欢这种方法，它包括将输入列表中的所有元素乘以 1，然后将所有结果乘以输入列表中的元素，等等，直到达到限制。

def signature_seq(signature, limit):
  products = set((1,))
  for factor in signature:
    new_products = set()
    for prod in products:
      x = factor * prod
      while x <= limit:
        new_products.add(x)
        x *= factor
    products.update(new_products)

  products.remove(1)
  return products

这应该做你想做的：

>>> print(sorted(signature_seq((2, 3, 11), 10)))
[2, 3, 4, 6, 8, 9]
>>> print(sorted(signature_seq((5, 7, 13), 30)))
[5, 7, 13, 25]

顺便说一下，如果给定一个从 2 开始的连续素数列表，这是一个smooth number 生成器。

【讨论】：

零比雷埃夫斯的算法同样优雅，但这个似乎更快。谢谢各位！！

【解决方案2】：

这是使用生成器（和itertools.count）的解决方案：

from itertools import count

def products(numbers, limit):
    numbers = set(numbers)  # needs a set to pop from, not a tuple
    while numbers:
        n = numbers.pop()
        for r in (n ** e for e in count(1)):
            if r > limit:
                break
            yield r
            for p in products(numbers, limit / r):
                yield r * p

因为它是一个生成器，它返回一个迭代器——结果没有排序，所以对于你想要的特定输出，你可以这样称呼它：

>>> sorted(products((2, 3, 11), 10))
[2, 3, 4, 6, 8, 9]
>>> sorted(products((5, 7, 13), 30))
[5, 7, 13, 25]

【讨论】：

【解决方案3】：

例如，仅将 itertools 与元组 (2,3,4) 一起使用的想法：

有多个笛卡尔积：

(2,),(3,),(4,) # repeat 1
(2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (4, 2), (4, 3), (4, 4) # repeat 2
...

对于每个元组，使用 reduce 和 operator.mul 和起始值 1，将它们相乘：

reduce(operator.mul, tuple, 1)

这将产生 2 级笛卡尔积的乘法：

[reduce(operator.mul,t,3) for t in itertools.product((1,2,3),repeat=2)]
>>>[3, 6, 9, 6, 12, 18, 9, 18, 27]

现在，我们需要增加repeat 直到满足停止条件，例如：每次乘法都会产生大于top 的结果。由于计数的最小值是2（因为1 乘以1 很多次只是1，所以它不会计数）我们可以将x 乘以2 而低于top。所以：top/2 = x，意味着我们可以遍历range(1,top/2)：

[reduce(operator.mul,t,1) for c in range(1,10/2) for t in itertools.product((1,2,3),repeat=2) if reduce(operator.mul, t, 1) < 10]

这会产生重复的值，所以让我们将它们转换成一个集合：

set([reduce(operator.mul,t,1) for c in range(1,10/2) for t in itertools.product((1,2,3),repeat=2) if reduce(operator.mul, t, 1) < 10])

仅使用itertools 可能会很麻烦，但解决方案似乎很漂亮。我确信可以通过引入更好的停止条件来优化它。最终代码如下所示：

注意：有一个素数定理可以让您将停止条件优化为math.sqrt(top)

import math
def f(t,m):
    return set([reduce(operator.mul, t1, 1) for c in range(1,int(math.sqrt(m)) for t1 in itertools.product(t,repeat=c) if reduce(operator.mul,t1,1) < m])

f((2,3,4),10)
>>>set([2, 3, 4, 6, 8, 9])

希望这能给你另一个想法:)

【讨论】：