这甚至是 Haskell 中的一个函数吗？如果是这样，我们应该如何阅读它？

Question

在 Doets 等人的 The Haskell Road to Logic, Math and Programming 一书中，在第 103 页，给出了

prime :: Integer -> Bool
prime n | n < 1     = error "not a positive integer"
        | n == 1    = False
        | otherwise = ldp n == n where 
  ldp    = ldpf primes
  ldpf (p:ps) m | rem m p == 0 = p
                | p^2 > m = m
                | otherwise = ldpf ps m 
  primes = 2 : filter prime [3..]

但是，这个函数的逻辑不是循环的吗？我的意思是我认为我对递归函数很满意，但我不认为这是一个递归函数。即使是这样，我也无法理解它的逻辑，所以我的问题是如何阅读这样一个函数的逻辑。

编辑：

我困惑的原因是prime函数使用了列表primes，但是要生成那个列表，我们也使用了函数prime，所以看起来有一个循环逻辑，或者我只是不理解带有惰性求值的递归函数。

Answer 1

ldp n == n 条件可以等效地重写为

ldpf primes n == n
=
null [() | p <- takeWhile (\p -> p^2 <= n) primes, rem n p==0]
=
and [rem n p > 0 | p <- takeWhile (\p -> p^2 <= n) primes]

所以对于任何给定的n，调用prime n = ldp n == n只需要生成列表

primes = 2 : 过滤素数 [3..]
       = 2 : 过滤器 (\n -> ldpf primes n == n) [3..]
       = 2 : 过滤器 (\n -> 和 [rem n p > 0
                                | p  p^2 素数])
                          [3..]

直到最小的素数q > floor (sqrt $ fromIntegral n)，为此只需要不大于q的平方根的素数。而要生成这些，只需要不大于 that 平方根的数字。很快我们就完全不需要任何素数了，例如

prime 3
= 
ldpf primes 3 == 3
=
and [rem 3 p > 0 | p <- takeWhile (\p -> p^2 <= 3) (2 : filter prime [3..])]
= 
and [rem 3 p > 0 | p <- takeWhile (<= 3) (4 : 
                                      map (\p -> p^2) (filter prime [3..]))]
= 
and [rem 3 p > 0 | p <- []]
=
and []
=
True

因为2 已经使谓词失败：(2^2 <= 3) = (4 <= 3) = False。

在测试4 时，primes 将被探测是否包含数字3，但这没关系，正如我们刚刚在上面看到的那样：

prime 4
=
and [rem 4 p > 0 | p <- takeWhile (\p -> p^2 <= 4) primes]
= 
and [rem 4 p > 0 | p <- takeWhile (<= 4) (4 : 
                               map (\p -> p^2) (filter prime [3..]))]
= 
and [rem 4 p > 0 | p <- 4 : takeWhile (<= 4) (9 :
                               map (\p -> p^2) (filter prime [4..]))]
= 
and [rem 4 p > 0 | p <- 4 : []]
=
False

然后我们可以在 GHCi 提示符下检查它，

> :sprint primes
2 : 3 : _

（要使上述方法正常工作，您需要将 primes 从 prime 函数中取出并使其本身成为顶级实体）。