算法难题：子树中的不同节点答案

【问题标题】：Algorithmic Puzzle: Distinct nodes in a subtree算法难题：子树中的不同节点
【发布时间】：2020-05-17 21:12:20
【问题描述】：

我正在尝试解决这个问题：

给定一棵由 n 个节点组成的有根树。节点是编号为 1,2,…,n，节点 1 是根。每个节点都有一种颜色。

你的任务是为每个节点确定不同颜色的数量在节点的子树中。

蛮力解决方案是为每个节点存储一个集合，然后在深度优先搜索中累积合并它们。那将在n^2 中运行，效率不高。

我如何有效地解决这个（以及同类问题）？

【问题讨论】：

我不明白它是怎样的O(n^2)。如果树或多或少平衡，我们有T(n) = 2T(n/2) + O(n)（合并为O(n)），这意味着T(n) = O(n log n)。
树可能根本不平衡。我们对此一无所知。这在平衡树中是正确的，但是很容易创建复杂度大于 O(n log n) 的反例
更具体地说，创建一个长度为 n / 2 的路径，为路径上的每个节点添加额外的子节点（叶） - 总共 n 个节点。合并那个需要 O(n^2) 时间。
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标签： algorithm time-complexity

【解决方案1】：

对于每个节点，

递归遍历左右节点。
让每个调用返回一个颜色的 HashSet。
在每个节点，合并左子集，右子集。
更新 HashMap 中当前节点的计数。
添加当前节点的颜色并返回集合。

示例 C# 代码：

public Dictionary<Node, Integer> distinctColorCount = new ...

public HashSet<Color> GetUniqueColorsTill (TreeNode t) {
    // If null node, return empty set.
    if (t == null) return new HashSet<Color>();

    // If we reached here, we are at a non-null node.
    // First get the set from its left child.
    var lSet = GetUniqueColorsTill(t.Left);

    // Second get the set from its right child.
    var rSet = GetUniqueColorsTill(t.Right);

    // Now, merge the two sets.
    // Can be a little clever here. Merge smaller set to bigger set.
    var returnSet = rSet;
    returnSet.AddAll(lSet);

    // Put the count for this node in the dictionary.
    distinctColorCount[t] = returnSet.Count;    

    // Finally, add the color of current node and return.
    returnSet.Add(t.Color);

    return returnSet;
}

您可以完全按照@user58697 使用主定理对您的问题发表的评论来计算复杂性。 This 是我很久以前写的另一个答案，它解释了主定理，如果你需要复习的话。

【讨论】：

如果树不平衡，这将在n^2 中运行。
@Maras：使用列表有两个问题。 1 - 保持排序，以“合并排序”方式合并它们。 2 - 删除重复项。使用哈希集可以为您解决这些问题。
@nz_21：每个节点都需要访问一次。如果树是倾斜的（假设没有树节点有右子节点），那么上面答案中的rSet 将为空，您将只有一个lSet，您将在每个节点处添加一种颜色。实际上，它将是 O(n)，而不是 O(n^2)
对，我没明白你没有复制更大的哈希集。实际上，这样每个值将被插入多达 log(n) 次。总复杂度确实预计为 O(n log n)。但是，您确实必须在您的孩子中选择最大的一组。如果您按照上面的说明执行伪代码（从左到右合并），那么您确实有 O(n^2) 最坏的情况。
另外，它不一定是二叉树。鉴于此，我不确定渐近分析是否仍然成立

【解决方案2】：

首先，您需要将树更改为列表。这种技术通常被称为“Euler Tour”。

基本上，您创建一个空列表并运行 DFS。如果您第一次或最后一次访问节点，请将其颜色推到列表末尾。这样，您将获得长度为 2 * n 的列表，其中 n 等于节点数。很容易看出，在列表中，与节点的子节点对应的所有颜色都在其第一次和最后一次出现之间。现在，不是树和查询“节点的子树中有多少种不同的颜色”，而是列表并查询“索引 i-th 和 j-th 之间有多少种不同的颜色”。这实际上使事情变得容易得多。

第一个想法——MO的技术O(n sqrt(n))：

我将简要描述一下，我强烈建议搜索 MO 的技术，它在许多资料中都有很好的解释。

按开头对所有查询进行排序（其余的，它们看起来像这样：给定对 (i, j) 查找子数组中从索引 i 到索引 j 的所有不同数字）。制作 sqrt(n) 个桶，将查询从索引 i 开始放置到桶号 i / sqrt(n)。

对于每个存储桶，我们将分别回答查询。按末尾对存储桶中的所有查询进行排序。现在开始使用蛮力处理第一个（最左边的查询）（迭代子数组，将数字存储在 set/hashset/map/whatever 中，获取集合的大小）。

现在要处理下一个，我们将在末尾添加一些数字（下一个查询比前一个更远！），不幸的是，对它的开始做一些事情。我们需要从集合中删除一些数字（如果下一个查询的开始 > 旧查询开始）或从开头添加一些数字（如果下一个查询的开始

第二个想法——检查一下，O(n log n)：Is it possible to query number of distinct integers in a range in O(lg N)?

【讨论】：