在矩阵上查找路径以获得最大值

Question

我知道，这是一个老问题，如果给定一个矩阵，比如：

[1 1 2 3，
 2 3 4 4，
 3 4 1 3，
 2 1 3 4]

从给定位置开始，从右到左，只能向右或向上或向下移动，不能原路返回并停在右侧，找到一条路径以获得最大值。

我正在考虑使用 DP（可能需要尝试所有可能的路径并计算值），但它似乎会消耗大量内存，因为它存储了所有可能的解决方案，而且速度可能也很慢。

我想知道是否还有其他想法或方法可以做出更好的解决方案？如果可能，更快的解决方案？

Answer 1

我认为有一种方法可以制作 DP，但我无法快速找到它。因为目前还没有人回答，所以我给个图法。创建一个有向图，其中从 A 到 B 的边将等于该顶点中的数字。从您的描述中可以清楚地看出它不会有任何循环。你会得到一个像这样的网格图，但只是定向的：

现在得到一个位于右侧某处的顶点源并将其连接到第一层（将所有边设为 0）。与目的地相同，但它在左侧。

现在运行longest path in directed acyclic graph

Answer 2

如果您想优化内存，您可以尝试回溯。这将只涉及存储当前路径以及最佳解决方案的路径和值。

大纲是：

1. 您存储了一个步骤列表（右、上、下）
2. 你可以说是深度优先，如果可以的话，试着迈出新的一步
3. 如果您不能，只需返回一个并将步骤更改为下一个可能的方向。 （如果它比以前存储的路径更好，则存储此路径）。
4. 如果该步骤没有下一个可能的方向，请重复 3。
5. 如果所有可能性都用尽，则返回存储的最佳路径。

维基百科的回溯：https://en.wikipedia.org/wiki/Backtracking