树上的顶点覆盖问题如下。
输入：无环简单无向图 G
输出：一组顶点 W，使得对于每条边 uv，u ∈ W 或 v ∈ W. 我们希望最小化 W 的大小。
我的贪心算法是初始化W = ∅，然后，当G不为空时，重复以下步骤。令 L 为 G 的叶顶点。令 N(L) 为与 L 中某个顶点相邻的顶点集。更新 W = W ∪ N(L)。从 G 中删除顶点 L ∪ N(L) 及其入射边。
这个算法适用于我迄今为止尝试过的所有情况。我该如何证明它是正确的？这是我目前所拥有的。
假设有另一个集合 S 是最优解。相反，我想确定 S 没有覆盖所有边缘，或者 S 与我的贪心算法产生的集合相同。
【问题讨论】：
标签： algorithm greedy vertex-cover
这是一个合理的开始，但我发现了两个问题。首先，最优解可能不是唯一的。考虑四顶点路径a-b-c-d，它有三个最优解：{a,c}, {b,c}, {b,d}。其次（你可能已经这样做了，但你没有这么说），有必要考虑树是有根的。否则，以a-b 为例，我们有L = {a,b} 和N(L) = {b,a}，生成的顶点覆盖为W = {b,a}，这不是最优的。通过将a 指定为根，根据定义，它被排除在叶子集合之外。
为了正式证明涉及循环的程序的正确性，使用归纳法建立循环不变量通常是一个好主意。请允许我推荐两个。
对于所有时间 t（其中时间 = 循环迭代次数），令 G(t) 为时间 t 处 G 的剩余值，令 W(t) 为时间 t 处 W 的值。对于G(t)的每个顶点覆盖X，集合W(t)∪X是G(0)的一个顶点覆盖，其中0是开始时间。
对于所有时间 t，存在一个包含 W(t) 作为子集的最优解。
设 T 为结束时间。因为 G(T) 是空图，所以 X = ∅是 G(T) 的有效顶点覆盖，因此不变量 #1 确定 W(T) 是 G(0) 的顶点覆盖。不变量 #2 确定 W(T) 包含在某个最优解中。由于 W(T) 本身是一个顶点覆盖，因此 W(T) 本身必须是那个最优解。
证明不变量 #2 的归纳步骤是，给定一个包含 W(t-1) 但不包含 W(t) 的最优解，将其按摩成另一个包含 W(t) 的最优解。这涉及将您的直觉形式化，即让叶子的邻居超过叶子总是至少同样有效。
【讨论】：