为 init、insert、delete、median 创建一个数据库

Question

我需要创建一个在这种时间复杂度下工作的数据库：

1. 初始化 O(1)

2. 插入 O(logn)

3. 删除 O(logn)

4. 求中位数 O(1)

我正在努力寻找 O(1) 中的中位数。

我创建了一个空的 AVL 树，以及 1.、2.、3。像具有所需时间复杂度的魅力一样工作。我想过每次输入树时都持有一个指向中位数的指针，但是当我删除一个节点时，如何在树中找到 logn 中的中位数？因为我相信我做不到。这将需要大约 O(n) 的时间复杂度。这意味着 3. 在更新指针以找到新的中位数后将无法使用 O(logn) 复杂度。

有什么想法吗？

Answer 1

根据您已有的情况，有多种解决方案可以解决此问题：

1. Order Statistics tree，它是二叉搜索树的一种变体，允许您通过其顺序统计快速（对数时间）访问元素。在您的情况下，您正在寻找 ceil(n/2)'th 元素。
   虽然这意味着您将在 O(logn) 中找到中值，但您可以在每次插入/删除后轻松缓存它，并且不会改变原始操作的复杂性 - 将保持 O(logn)。

2. 另一种（可能更简单）的方法是使用以下观察：
   在每次插入/删除非空集后，中位数可以执行以下三个选项之一：
   一个。保持相同的元素。示例：1,2,3 -> 1,2,3,4 - 中位数仍为 2，
   乙。向右移动一个元素。示例：1,2,3,4 -> 1,2,3,4,5 - 中位数从 2 更改为 3
   c。向左移动一个元素。示例：1,2,3,4,5 -> 1,2,3,4（与之前相同，相反）。

假设您可以在对数时间内找到“上一个”和“下一个”元素，只需很少的额外工作即可轻松维护指向中位数的指针。