BCD 加法器和十进制输出

Question

对于计算 125 * A - 100 * (A Mod 4) + 2 的 Decimal Output 和具有 A (one BCD digit)，下列哪项是正确的？

1) 我们至少需要两个十进制加法器。

2) 我们至少需要两个 4 位二进制加法器。

3) 我们至少需要一个十进制乘法器和一个十进制加法器。

4) 以上皆非。

为什么我们的讲师选择(4) 作为解决方案而不选择(3)？有什么想法或提示吗？

谢谢大家。

Answer 1

A Mod 4 在原始等式中给出了 BCD 数字 A 的两个最低有效位。所以，让我们分别考虑 A 的两个最高和最低有效位，如下所示：

X = A AND 3 = A Mod 4  (two least significant bits)
Y = A AND Ch           (two most significant bits)

其中Ch 中的h 后缀表示十六进制的C（即Ch 是二进制的1100），AND 表示逻辑与运算。

例如，如果我们有

A = abcd

其中a、b、c 和d 是任意二进制数字，我们会得到

X = 00cd
Y = ab00

重要的是，请注意

A = X + Y
(ab00 + 00cd = abcd)

这允许我们将乘法的分布应用于加法，特别是

  125 * A
= 125 * (X + Y)
= 125 * X + 125 * Y

所以，我们有

  125 * A - 100 * (A Mod 4) + 2     (original equation)
= 125 * (X + Y) - 100 * X + 2       (replace A with X + Y)
= 125 * Y + 125 * X - 100 * X + 2   (distributivity)
= 125 * Y + 25 * X + 2              (125 * X - 100 * X = 25 * X)
= 100 * Y + 25 * (X + Y)            (125 * Y = 100 * Y + 25 * Y)
= 100 * Y + 25 * A + 2              (replace X + Y with A)

在最终方程 100 * Y + 25 * A + 2 中，我们需要计算两项（100 * Y 和 25 * A），外加一项常数项（2）。

100 * Y 一词在 BCD 中很简单：只需将 Y 向左移动两位数，即百位数。

对于 25 * A 术语，我们需要一个乘法器将 A 乘以 25。

现在，我们需要将所有三个项相加，但是：

• 在100 * Y 和25 * A 方面的设置位（“一”位）之间没有重叠。实际上，术语100 * Y 只能设置百位数的两个最高有效位（回到Y 的定义），而术语25 * A 最多设置同一数字位置的两个最低有效位。要看到这一点，请记住 25 * A = 100 * A / 4，这意味着该术语的百位数字不能超过 3。
• 100 * Y 和 25 * A 都是 25 的倍数，这意味着它们的和也是如此，因此该和的低位只能是 0 (0000) 或 5 (0101)。第二位不能在该总和中设置，因此也不会与常量 2 术语重叠。

由于在考虑可以设置哪些位位置时所有三个项不重叠，所以我们可以使用简单的逻辑 OR 运算而不是实际的加法器来将所有三个项相加。

事实上，在我们所做的一切中，加法器从来都不是必需的，这意味着 4) 是唯一合适的答案。