Bachmann-Landau 符号家族

Question

能否帮我理解图中提到的符号？，我尝试理解“巴赫曼-朗道符号家族”下的“Big O notation” strong> 表中有“正式定义”列，其中有很多等式的符号，我以前没有遇到过这些符号。任何人都可以熟悉这个吗？ https://en.wikipedia.org/wiki/Big_O_notation#Family_of_Bachmann–Landau_notations

Answer 1

定义背后的逻辑实际上很简单，它基本上说无论什么常数乘以结果，从n足够大的某个点开始，函数之一将开始变大/变小并且还是那样。

要看到真正的区别，我将解释small-o（它表示某些函数的复杂度比其他函数小），它表示对于所有大于零的k，您可以找到n 的某个值，称为@ 987654325@，所有大于 n_0 的 n 都遵循以下模式：f(n) <= k*g(n)。

所以你有两个函数，你把n作为参数放在那里。那么无论你输入什么k，你总能找到n 的值，f(n) <= k*g(n) 和所有比你找到的值更大的值也适合这个等式。

考虑例如：

f(n) = n * 100
g(n) = n^2

因此，如果您尝试将即n=5 放在那里，它并没有说明您有更大的复杂性，因为5*100=500 和5^2=25。如果你输入的数字足够大，即n=100，那么f(n)=100*100=10000 和g(n)=100^2=100*100=10000。所以我们得到相同的值。如果你尝试放比这更大的东西，g(n) 会越来越大。

它还必须遵循等式f(n) <= k*g(n)。例如，如果我输入即k=0.1 那么

100*n <= 0.1*n^2 *10
1000n <= n^2 /n
1000 < n

因此，使用这些函数，您可以看到对于 k=0.1，您有 n_0 = 1000 来满足方程式，但这已经足够了。所有n > 1000 都会更大，函数g(n) 总是更大，因此它具有更高的复杂性。 （好吧，真正的证明并不那么容易，但你可以看到模式）。关键是，无论k是什么，即使等于k=0.000000001，总会有n_0的断点，从那个点开始，所有g(n)都会大于f(n)

我们也可以尝试一些负方程来看看O(n)和O(n^2)之间的区别。

让我们来：

f(n) = n
g(n) = 10*n

所以在标准代数中g(n) > f(n)，对吗？但在复杂性理论中，我们需要知道它是否会变大，如果是，它是否会变大，而不仅仅是将其与常数相乘。

所以如果我们考虑k=0.01，那么你可以看到，无论n 有多大，你永远找不到满足f(n) <= k*g(n) 的n_0，所以f(n) != o(g(n))

就复杂性理论而言，您可以将符号视为更小/更大，所以

f(n) = o(g(n)) -> f(n) < g(n)
f(n) = O(g(n)) -> f(n) <= g(n)
f(n) = Big-Theta(g(n)) -> f(n) === g(n)
//... etc, remember these euqations are not algebraic, just for complexity