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集合的归纳定义根据集合中的其他元素来描述集合中的元素。例如，自然数集合 N 的一个定义是：
- 1 在 N.
- 如果元素 n 在 N 中，则 n+1 在 N 中。
- N 是满足 (1) 和 (2) 的最小集合。
满足 (1) 和 (2) 的集合有很多——例如集合 {1, 1.649, 2, 2.649, 3, 3.649, ...} 满足定义。
我不明白为什么需要 (3)。在给出的示例中，它声明 1.649 是该集合的成员，但 1.649 不满足 (1) 或 (2)。
为什么需要 (3) 以及 1.649 在集合中的情况如何？
【问题讨论】：
标签： math computer-science
列表中的规则 2 是“如果”，而不是“当且仅当”。它们不是生成集合的规则，而是决定是否允许集合的规则。集合 {1, 1.649, 2, 2.649, 3, 3.649, ...} 满足规则 1，因为 1 在集合中。它满足规则 2，因为对于集合中的每个元素，该元素加一也在集合中。事实上，即使是实数集也满足前两条规则，而且它有无数个你不需要的“额外”元素。
只有规则 3 阻止您向集合中添加任意额外元素，即集合必须是可能的最小元素。
【讨论】：
前两个要求不能确定某些元素不在集合中。虽然我们保证有 1，但集合没有理由不包含 1.649。
显然，我们希望自然数集是唯一的，并且只有 {0, 1, ...}，因为我们需要能够对所有自然数进行断言。
举例来说，我们希望能够做出的一个基本陈述是，任何自然数要么是自然数的后继，要么是 1。从集合中的另一个数开始的等价链无济于事那个。
【讨论】：
(1) 1 is a natural number`
(2) If N is a natural number, than N+1 is a natural number as well
这是一个蕴涵，而不是等价。这就是说 - 如果对于任何数字，这些条件成立，它就是一个自然数。它没有说明是否还有其他自然数。
(3) N is the smallest set satisfying (1) and (2)
这恰恰说明了前两个条件令人筋疲力尽。不仅每个满足它们的数字都是自然的，而且 - 任何不满足它们的数字都是不自然的。
条件 (3) 也可以改写为
Every natural number can be obtained by a finite number of applications of (2) on (1)
或者干脆
Nothing else is a natural number
【讨论】：