我该如何解决这个 GCD？

Question

https://www.codechef.com/problems/MAXGCD

Chef 有一个由 N 个整数组成的集合。如果该子集有两个或更多元素，Chef 称该子集的子集是好的。他将所有好的子集表示为 S1、S2、S3、...、S2N-N-1。现在他将每个好的子集 Si 的元素的 GCD 表示为 Gi。 Chef 想要找到最大 Gi。

输入

输入的第一行包含一个整数 T，表示测试用例的数量。 T 测试用例的描述如下。” 每个测试用例的第一行包含一个整数 N，表示集合中元素的数量。第二行包含 N 个以空格分隔的整数 A1、A2、...、AN，表示集合的元素。

输出

对于每个测试用例，输出最大Gi

我的解决方案：

1. 我生成给定集合的所有可能子集。
2. 我使用欧几里得算法计算每组的 GCD
3. 我试图找到所有这些中的最大值。

这是我制作所有可能子集的代码：

vector< vector<int> > getAllSubsets(vector<int> set)
{
    vector< vector<int> > subset;
    vector<int> empty;
    subset.push_back( empty );

    for (int i = 0; i < set.size(); i++)
    {
        vector< vector<int> > subsetTemp = subset;

        for (int j = 0; j < subsetTemp.size(); j++)
            subsetTemp[j].push_back( set[i] );

        for (int j = 0; j < subsetTemp.size(); j++)
            subset.push_back( subsetTemp[j] );
    }
    return subset;
}

但是，我在使用这种方法时得到了 TLE。我哪里错了？

Answer 1

一项优化是您永远不需要考虑大于 2 个元素的子集。这是因为如果添加另一个元素，GCD 只能减少。

这导致O(n^2) 算法。问题陈述中说n可以和100 000一样大，所以我们需要做得更好。

问题还说给定的值最多是500 000，所以GCD不能超过这个。

让count[i] = how many times the value i appears in the array.

然后我们可以应用类似于Sieve of Eratosthenes 的东西：对于固定值v，看看你是否能找到v 的两个倍数（count 的总和[multiple_of_v] > 1）。如果可以，那么您可以拥有v 的 GCD。跟踪您可以找到的最大值。

伪代码：

V = max(given array)
cnt[i] = how many times value i occurs in given array

for v = V down to 1:
  num_multiples_v = 0
  for j = v up to V:
    num_multiples_v += cnt[j]

  if num_multiples_v > 1: # TODO: break the inner loop when this is true
    print v as solution
    return

复杂度为O(V log log V)，应该非常快。

Answer 2

您不需要所有子集。

gcd的一些基本属性：

gcd(a,b) == gcd(b,a)
gcd(a,b) <= a  
gcd(a,b) <= b  
gcd(a,b,c) == gcd(a,gcd(b,c)) == gcd(gcd(a,b),c)  

有了这个，很容易证明

gcd(a,b) >= gcd(a,b,c) >= gcd(a,b,c,d)...

对于任何自然数 a,b,c,d。

您想找到最大的（其中一个）子集。 gcd。根据上述规则，其中一个子集正好有两个元素（假设整个集合至少有两个元素）。因此，第一个优化是丢弃子集生成并制作类似

max = 0
for all set elements "a"
{
    for all set elements "b"
    {
        if(gcd(a,b) > max)
            max = gcd(a,b)
    }
}

如果还不够，先将集合从大到小排序，对于循环中计算的每个gcd，删除每个小于计算值的集合元素。