不受限制的语法：{ sss | s 存在于 {a,b}* }

Question

有什么方法可以为 sss 构建不受限制的语法？我知道为了构造ss，你需要构造ss^r，然后重新反转第二个字符串，但是sss怎么做呢？

Answer 1

这可能存在一些错误，但这个想法应该能让你走上正轨。

// section 1
S := LTR
T := ATWX | BTYZ | N

// section 2
WW' := W'W
WY' := Y'W
YW' := W'Y
YY' := Y'Y

// section 3
WX' := W'X'
WZ' := W'Z'
YX' := Y'X'
YZ' := Y'Z'

// section 4
XW' := W'X
XX' := X'X
XY' := Y'X
XZ' := Z'X
ZW' := W'Z
ZX' := X'Z
ZY' := Y'Z
ZZ' := Z'Z

// section 5
XR  := X'R
ZR  := Z'R

// section 6
NW' := W'N
NX' := X'N
NY' := Y'N
NZ' := Z'N
NR  := Q

// section 7
AQ  := Qa
W'Q := Qa
X'Q := Qa
BQ  := Qb
Y'Q := Qb
Z'Q := Qb
LQ  := e

第 1 节列出了基本方案。我们将用 L 和 R 标记我们工作空间的开始和结束，使其非常明确。 T 是我们的工作空间，L 和 R 是左右标记。我们的工作空间可以添加三个as（这些是 A、W 和 X 稍后将成为的）或添加三个 bs（这些是 B、Y 和 Z 将成为稍后）或者它可以退出生成特殊的非终结符 N。N 将把我们的非终结符字符串变成一串终结符，我们稍后会看到。

所以我们需要在(a+b)* 中为x 提供xxx。由于我们设置制作的方式，A 和 B 被添加到第一个 x 的末尾。第 2 部分的工作是确保将 W 和 Y 添加到第二个 x 的末尾。不幸的是，我们的作品将W 和Y 放在第二个x 的开头，因此，如果不进行更正，我们最终会得到xx^R。第 2 节通过将W 和Y“浮动”到右侧来纠正这个问题，只要它们位于已经找到合适位置的W 或Y 的左侧。 Ws 和 Ys 不能相互通过，因此这保证了一旦音乐停止，它们将以正确的顺序结束。

第 3 节展示了第二次出现 x 中的符号如何找到它们的正确位置。基本上，它们会向右移动（基于第 2 节），直到它们在适当的位置找到第三个 x 的符号。由于第二个x 的符号在第三个x 的符号之前有其适当的位置，因此第三个x （X 或Z）的符号之前的最后一个可能的正确位置是第二个x 的每个符号。所以我们一直浮动到第二个x的末尾。

我们在第 4 节中对第三个 x 重复该过程，尽管我们必须让这些符号（X 和 Z）浮过第二个或第三个 x 中已经找到的所有符号他们应有的地方。这些符号不能自行传递，因此按照我们在第 2 节中看到的相同逻辑，我们将以正确的顺序获取符号。

第 5 节说明何时停止构成右侧第三个 x 的浮动符号。还记得工作空间标记R 的结尾吗？第三个x 的最后一个符号一直出现在右侧，就在R 之前。这就是我们知道我们找到了符号的正确位置的时候。

第 6 节开始完成我们的推导过程。我们有一串可爱的非终结符，我们想把它们变成终结符。我们要做的第一件事就是将N 向右浮动，越过第二个和第三个xs 的正确放置的符号，一直到字符串标记R 的末尾。我们不需要任何R，所以我们将N 转换为Q。正如我们将在下一节中看到的，Q 是让魔法发生的原因。

第 7 节概述了Q 如何在整个非终结符字符串中向左浮动，这些非终结符一直到L，一直到L，将非终结符更改为正确的终结符。一旦找到L，它就会消除两个非终结符，只留下一串终结符。推导完成。

为了说明这个过程，让我们生成aabaabaab。

S
-> LTR 
-> LATWXR 
-> LAATWXWXR 
-> LAABTYZWXWXR
-> LAABNYZWXWXR
-> LAABNYZWXWX'R
-> LAABNYZWXW'X'R
-> LAABNYZWW'XX'R
-> LAABNYZWW'X'XR
-> LAABNYZWW'X'X'R
-> LAABNYZW'WX'X'R
-> LAABNYZW'W'X'X'R
-> LAABNYW'ZW'X'X'R
-> LAABNYW'W'ZX'X'R
-> LAABNYW'W'X'ZX'R
-> LAABNYW'W'X'X'ZR
-> LAABNYW'W'X'X'Z'R
-> LAABNW'YW'X'X'Z'R
-> LAABNW'W'YX'X'Z'R
-> LAABNW'W'Y'X'X'Z'R
-> LAABW'NW'Y'X'X'Z'R
-> LAABW'W'NY'X'X'Z'R
-> LAABW'W'Y'NX'X'Z'R
-> LAABW'W'Y'X'NX'Z'R
-> LAABW'W'Y'X'X'NZ'R
-> LAABW'W'Y'X'X'Z'NR
-> LAABW'W'Y'X'X'Z'Q
-> LAABW'W'Y'X'X'Qb
-> LAABW'W'Y'X'Qab
-> LAABW'W'Y'Qaab
-> LAABW'W'Qbaab
-> LAABW'Qabaab
-> LAABQaabaab
-> LAAQbaabaab
-> LAQabaabaab
-> LQaabaabaab
-> aabaabaab