我在矩形容器中优化放置不同大小和数量的矩形对象时遇到问题。该问题可以通过二维装箱算法之一完美解决，但仅限于空容器。对我来说，几乎总是不是这样。我的容器可以有一个限制的地方，不能放置任何物体。 Packing example
当然，我不是第一个遇到这种问题的人，我希望有人已经为它开发了一个好的解决方案。什么都好：书籍参考、文章、代码 sn-ps 等。 形式算法在神经网络和这类事物上更受欢迎。
【问题讨论】：
标签： algorithm bin-packing
解决它的一种可能方法是使用整数线性规划。有不同的模型，但这里是一个简单的模型（有一点问题，但如果需要，您可以改进）。
将问题拆分为主问题和子问题，主问题如下所示：
minimize sum(p)
s.t.
for all i: sum[j] p[j]*count[j,i] >= n[i]
p[i] >= 0 (and integer, don't add this constraint)
地点：
p 是决策变量，决定使用多少实例将可用项目的特定“包装”到容器中。显然有太多这些无法提前列出，但它们可以动态生成。count[j,i] 是包装 j 包含项目 i 的次数。n[i] 是我们想要项目 i 的次数。>=，因为打包几个额外的项目是可以的，它让我们可以使用更少的不同打包（否则主要问题需要特殊的“故意不理想”打包才能满足约束）。从每个项目的几个愚蠢的包装开始，这样肯定会有一些解决方案，尽管它可能很糟糕。您甚至可以将 一个 项放在容器中，即使不使用求解器解决子问题，这也是微不足道的，但无论如何都必须解决子问题，因此您不妨在这里重用它。
子问题是找出可以改进主问题的当前解决方案的包装。所以取master问题C的行的对偶成本（有多少种类就有多少）解决
maximize y.C
s.t.
1) for all i: y[i] <= n[i]
2) for all i: y[i] = sum[j] P[j] if j is a placement of item i
3) for all cells (a,b): sum[j] P[j] (if j covers a,b) <= 1
4) for all existing packings e: e.y <= sum(e) - 1
y >= 0 and integer
P boolean
在哪里，
y 是隐含变量，从 P 的选择中得出，y[i] 是项目 i 在包装中出现的次数。P 是真正的决策变量，决定是否使用特定项目的特定位置。您的示例问题中有 62 个不同的项目放置，包括轮换。如果主问题是常规线性程序，则不会重新创建列，但它是整数程序，并且在分支约束 4 后需要明确防止重新创建。例如，在“低”分支上（回想一下，这意味着我们取了一些变量k，它有一个小数值f，并将其限制为<= ⌊f⌋），子问题尝试做的第一件事是重新创建与k 完全相同的包装，以便可以将其添加到主问题中以“撤消损坏”。这与我们需要的完全相反。所以必须禁止重新创建一个列。
约束 4 不是一个很好的方法，因为现在子问题将尝试生成所有 等效 包装，这要归功于对称性。例如，对这个包装的变量进行四舍五入后：
它会生成类似这样的等效包装：
等等。这些有很多，而且它们都毫无意义，因为这并不重要（对于主问题的客观价值，当考虑整数约束时）在哪里 1x3 块，重要的是包装包含一个 1x3 件和 14 个 1x1 件。
因此，理想情况下，约束 4 将被更复杂的东西取代，它禁止包装 等效 与以前的任何东西相同，但其他最有效的方法是首先尝试高分支。至少在这个例子中，效果很好。
在此示例中，在添加允许主问题最优的列之后（但仍然是分数，在任何分支之前），目标值为 5.5882352941176467。这已经意味着我们知道我们至少需要 6 个容器，因为这是最佳的小数值证明它不能用 5 来完成，并且小数容器不是一个选项。
很快找到了一个6个容器的解决方案，即
其中包含所有部件以及额外的 1x4 部件和 3 个额外的 1x1 部件。
这个算法不太依赖碎片或容器的形状，除了它们必须可以表示为网格上的单元格。容器可以到处都有孔，碎片可以更像俄罗斯方块，甚至有不连贯的部分。一个缺点是它需要的展示位置列表会随着容器的大小而严重扩展。
【讨论】：