其中 k <=4 在 O(|V|) 时间内找到每个 k 元组答案

【问题标题】：Where k <=4 find every k-tuple in O(|V|) time其中 k <=4 在 O(|V|) 时间内找到每个 k 元组
【发布时间】：2013-04-13 20:39:22
【问题描述】：

这是我的问题的上下文：

我有一个作业问题：描述一个以顶点大小为单位的线性时间算法（即 O(|V|)），以确定图中是否存在所有顶点都具有最大大小程度的最大团3. 我知道有一个多项式时间算法可以做到这一点。我正在努力想出的是一个 O(|V|) 算法来做到这一点。另外，我确实意识到最大的集团可能是 4 号。

这就是我一直被难住的地方：

在我看来，在某些时候，您需要枚举所有大小为 4 的 k 元组。但是如何在 O(|V|) 时间内完成呢？

另外值得注意的是，我尝试过使用动态编程来解决这个问题，但我看不到如何在线性时间内做到这一点。

答案、想法、建议？

【问题讨论】：

提示：每个团都是某个顶点的邻居集的子集。
当您说“最大”集团时，我假设您的意思是最大，而不是最大，对吗？
@G.Bach 如果家庭作业作者的意思是最大，那么他们就不会指定度数限制。
@DavidEisenstat 哦，我刚刚意识到我误读了这个问题，我以为它说的是“最小顶点度”。尽管如此，这并没有改变差异。在最大顶点度数为 3 的图中，仍然可以存在不是最大团的最大团。

【解决方案1】：

不可能在 O(|V|) 时间内找到每个 k 元组，因为所需的输出大于您想要实现的复杂度。但实际上，找到一个最大集团并不需要你找到所有的 k 元组。您必须考虑的唯一 k 元组是形成某个顶点（包括顶点本身）邻域的 k 元组。

【讨论】：

首先，如上所述，这个答案对我没有帮助。（是我，不是你。）最好我想改写答案。如果没有，你能不能至少说出最后一句话是什么意思。最后，我看不出如何在 O(V) 时间内找到每个 4 元组。要了解我为什么要为此苦苦挣扎，我不知道如何在线性时间内找到所有 2 元组（但可以在二次时间内做到这一点。）如果我不能在线性时间内做 2 元组，我有什么机会有在 O(|V|) 时间内找到 4 元组吗？
@user678392 顶点v的邻域定义为集合S，使得对于S中的所有s，都有一条边{v,s}；所以用更简单的话来说：v 的邻域是与 v 相邻的所有顶点的集合。任何 v 只能与其邻域的顶点形成一个团。此外，如果通过 2 元组您实际上确实是指顶点集，使得该集合恰好具有 2 个顶点并且该集合形成一个团，那么任何图的所有 2 团都是边。
@G.Bach 很抱歉，但我不明白这对我有什么帮助。如何在线性时间内找到每 3 个元组？
@Thomash 我不明白这句话：“您必须考虑的唯一 k 元组是形成某个顶点（包括顶点本身）邻域的那个。”这有什么帮助？
@user678392 取一个三阶顶点 x；称其邻居为 u,v 和 w。为了使 (x,u,v,w) 成为一个集团，图形必须具有哪些边？您需要进行多少次操作才能检查？