需要帮助通过动态规划制作团队阵容答案

【问题标题】：Need help making team LINEUP by dynamic programming需要帮助通过动态规划制作团队阵容
【发布时间】：2012-12-27 06:14:57
【问题描述】：

假设您是一名足球队教练。球场上有11名球员和11个不同的位置。每个玩家都能够在指定位置以一定等级在所有 11 个不同位置上进行比赛。

作为球队的教练，您必须为球队（由所有 11 名球员组成）确定可能最强的阵容，以使整体评分（即评分总和）最大化。没有两名球员可以在同一个位置上比赛。

例如，考虑一个较小的 LINEUP 问题，其中只有 3 名玩家玩某个游戏。

3 2 1
4 1 5
6 7 3

玩家 1 可以在排名 3 的位置 1、排名 2 的位置 2 和排名 1 的位置 3 上玩。同样，对于所有玩家，第 i 列代表他们在第 i 位置的排名。最佳阵容是当球员 1 在位置 1、球员 2 在位置 3、球员 3 在位置 2 时，最高评分 = 15 (3 + 5 + 7)。

那么，动态规划如何解决这个问题呢？我在论坛上读过有人用 DP 解决这个问题，但我无法弄清楚这个问题是如何拥有最优子结构的。所以请帮我弄清楚....

也请提一下DP能不能解决问题

请适当编辑标题...

【问题讨论】：

标签： algorithm dynamic-programming

【解决方案1】：

相信你这里有赋值问题，可以通过Hungarian Method解决。

如果你真的想要一个 DP 解决方案，这里有一个想法。为什么没有F[i,j]、i=0..11、j = 0..2^11-1。 i - 是允许您选择的球员数量，j - 是一个位掩码，表示所覆盖的场地位置，F 是您可以获得的最大“团队价值”。例如，对于i = 1，只有那些二进制表示最多包含一个设置位的j 的值是“有效的”。显然，你不能只用一名球员转换多个位置。

// initialize the F[][] array with -infinity
F[0][0] = 0;

for(i = 1; i <= 11; ++1)
{
  for(j = 0; j < 2^11; ++j)
    for(k = 0; k < 11; ++k )
    if( (j & (1 << k)) == 0 ) // k-th position is not occupied?
      F[i][j | (1 << k)] = max( F[i][j | (1 << k)], F[i-1][j] + <value of payer i playing at position k> );
}

ANSWER = F[11][2^11-1]

这显然可以优化：对于F[i]，我们只对包含完全i 设置位的位掩码感兴趣。

通过用位图表示可能的状态，将组合问题转化为 DP 问题的技术有一个名称，但我不记得了。解决这个问题的正确方法仍然是匈牙利方法。

【讨论】：

感谢您的回复。学到了一些新东西以及关于最佳子结构的知识
@khirod，我不确定您所说的最佳子结构是什么意思，但我概述了一个“cheat-DP”解决方案。希望对您有所帮助。
此外，所有子阵容r 可以通过重复减去 j 中的最低 1 位，在 O(number_of_1_bits_in_j) 中找到，使用技巧 j & -j 找到这个最低 1 位:) 这意味着将 k 循环替换为仅遍历这些位的循环。
现在看起来像是广度优先搜索。对于每个位掩码，我们可以通过设置一个新位来获得所有其他位掩码：我们反转位掩码并应用j & -j 技巧。自然地，从位掩码 0 发现的位掩码将包含一个位集，位掩码的下一个“波”将包含 2 个位，等等……但此处仍应应用匈牙利方法。 8 - )
@j_random_hacker，我正在考虑消除 j 上的循环。就像 Dijkstra 算法一样。我们将需要一个数组 F[0 .. 2^11-1]、一个位向量 Visited[0..2^11-1] 和两个位掩码列表：lCur 和 lNext。最初 lCur={00000000000}，lNext={}。然后for (i=0;i<11;++i) { for(<bitmap B in lCur>) { for (<bits X not set in B>) { F[B&X]=max(F[B&X],F[B]+...); if(!Visited[B&X]) {lNext += B&X; Visited[B&X]=true;} } } lCur=lNext; lNext = {}; }希望这出来可读...

【解决方案2】：

这是一个匹配问题。你可以使用KM算法来解决wiki Alex提到的匈牙利方法是KM的一个特例。对于 DP 方法，Ales 给出了正确的答案。由于玩家人数不多，这里可以使用位操作的方法

【讨论】：