动态规划杆切割的更简单的重现答案

【问题标题】：Simpler recurrence of Dynamic Programming Rod-cutting动态规划杆切割的更简单的重现
【发布时间】：2016-01-27 01:22:10
【问题描述】：

在 CLRS 中，棒材切割问题的递归解是：

r_n = max (p_n, r₁+r_n-1,... ,r_n-1+r₁)

这个重复很清楚，我明白了。

但是，我很难理解书中提供的这种重复的简单版本，即：

r_n = max_{1(p_i + r_n-i) ,其中 p_i 是长度 i 的成本。}

我不明白，这个循环和第一次循环有什么相似之处。对我来说，第二次重复可能会错过最佳解决方案，因为我们没有考虑第一次切割的最佳成本（我们只是采用正常价格）。

我们不应该总是像第一个方程一样考虑双方的优化成本吗？

【问题讨论】：

【解决方案1】：

这是推理。

最佳剪裁必须包括一段长度i。这件作品将以p<sub>i</sub> 的价格出售。然后，您会将杆的其余部分切割成其他部分，并且最好将其切割成最佳状态。

因此，我们只需要在剪辑中找到其中一个。递归将负责找出其余部分。

这正是更简单的递归所做的。

【讨论】：

【解决方案2】：

虽然这个回复晚了。无论如何，我还是想发布它，因为我对同样的路线感到困惑。

我认为当我们认为两个公式都可以替换另一个时，就会出现混淆。虽然他们计算相同的现象，但它是通过两种不同的方式完成的：

令，B(i) = 切割长度为 i 单位的杆的最优价格，p(i) = 长度为 i 单位的杆的价格。

公式 1：B(i) = max(1

公式 2：B(i) = max(1

考虑一根长度为 4 的杆，可以通过以下方式切割：

1) 长度为 4 的未切割

2) 3, 1

3) 2, 2

4) 2、1、1

5) 1、3

6) 1、2、1

7) 1、1、2

8) 1、1、1、1

根据公式 1：

选项1对应P(4)

选项 2,5,6,7,8 对应 B(1) + B(3)

选项 3,4,6,7,8 对应 B(2) + B(2)

根据公式 2：

选项1对应P(4)

选项2对应P(3) + B(1)

选项 3,4 对应于 P(2) + B(2)

选项 5,6,7,8 对应 P(1) + B(3)

总而言之，1 和 2 计算的是最优解，但方式不同，与 1 相比，2 更紧凑，递归调用更少。

【讨论】：

【解决方案3】：

除了其他人给出的解释外，我想指出的是，第二次递归实际上消除了常见的杆切割子问题，例如在任一位置 i=1 处发生车辙的尺寸为 n=4 的杆或 i=3，即从任一端切下一个单元。

【讨论】：