确定最大 n 的项目集，它们给出最小的总值并且其组合权重 >= 容量权重（背包问题变体）

Question

我正在尝试运行背包问题的变体，我需要总价值最小但组合重量等于或超过容量重量的项目组合。

maxn = 3
vm = [60, 100, 120, 50, 10, 10]  # Values
wt = [10, 20, 30, 20, 5, 5]  # Weights
W = 50  # Capacity weight
n = len(vm)

我所拥有的，给了我经典的背包答案（总价值最高）：

def knapsack(n, W, wt, vm):
    for i in range(n+1):
        for w in range(W+1):
            if i == 0 or w == 0: 
                K[i][w] = 0
            elif wt[i-1] <= w: 
                K[i][w] = max(vm[i-1]  
                    + K[i-1][w-wt[i-1]],  K[i-1][w]) 
            else: 
                K[i][w] = K[i-1][w]
    print(K[n][W])
    return K[n][W]

def items_in_optimal(n, W, wm):
    i = n
    j = W

    while (i > 0 and j > 0):
        if(K[i][j] != K[i-1][j]):
            print(i-1)
            j = j-wm[i-1]
            i = i-1
        else:
            i = i-1

K = [[0 for i in range(W + 1)] for j in range(n + 1)] 
knapsack(n, W, wt, vm)
items_in_optimal(n, W, wt)

Output: 
220
2
1

我要找的结果是：

Output:
170
3
2

非常感谢任何帮助！

编辑问题更清楚

编辑 2： 这是我想出的，但如果有更快的方法，我会非常感兴趣：

from itertools import combinations
import numpy as np

rlen = [2, maxn]
a = []
for r in rlen:
    best_value = sum(vm)
    for i in combinations(np.arange(0, len(vm)), r):
        if sum(np.array(wt)[list(i)]) >= W:
            if sum(np.array(vm)[list(i)]) < best_value:
                best_value = sum(np.array(vm)[list(i)])
                best_indices = list(i)
    a.append([r, best_value, best_indices])

split_inv = min(a, key=lambda t: t[1])[2]
print(split_inv)

Answer 1

创建一个二维表，其中行表示从 0 到 W 的权重，列表示从 0 到 N 的项数。每个条目应该是一个元组：(valid, value, indexList)。

最初，只有table[0][0] 有效。

对于每个项目，反向扫描表格。换句话说，循环看起来像这样：

items = zip(wt, vm)
for itemIndex, (itemWeight, itemValue) in enumerate(items):
    for w in range(W,-1,-1):
        for n in range(N-1,-1,-1):

请注意，n 循环从 N-1 开始。表的 N 列中的条目表示 N 项的列表，因此不能将其他项添加到该条目中。

当您找到有效的条目table[w][n] 时，通过将当前项目添加到该条目来计算新的权重、值和索引列表。 （如果w + itemWeight大于W，那么新的权重就是W。）然后与候选条目table[newWeight][n+1]进行比较。如果候选者无效或具有更高的值，则更新候选者。如果候选项有效且值较低，则不要更改。

扫描完所有项目后，在表的最后一行中找到具有最低值的条目，这就是答案。

对于给定的示例，最终表格如下所示。仅显示具有有效条目的行。第一列是该行的权重。

 0 [(True , 0, []), (False,  0, []),  (False,  0, []),     (False,  0, [])]
 5 [(False, 0, []), (True,  10, [4]), (False,  0, []),     (False,  0, [])]
10 [(False, 0, []), (True,  60, [0]), (True,  20, [4, 5]), (False,  0, [])]
15 [(False, 0, []), (False,  0, []),  (True,  70, [0, 4]), (False,  0, [])]
20 [(False, 0, []), (True,  50, [3]), (False,  0, []),     (True,  80, [0, 4, 5])]
25 [(False, 0, []), (False,  0, []),  (True,  60, [3, 4]), (False,  0, [])]
30 [(False, 0, []), (True, 120, [2]), (True, 110, [0, 3]), (True,  70, [3, 4, 5])]
35 [(False, 0, []), (False,  0, []),  (True, 130, [2, 4]), (True, 120, [0, 3, 4])]
40 [(False, 0, []), (False,  0, []),  (True, 150, [1, 3]), (True, 140, [2, 4, 5])]
45 [(False, 0, []), (False,  0, []),  (False,  0, []),     (True, 160, [1, 3, 4])]
50 [(False, 0, []), (False,  0, []),  (True, 170, [2, 3]), (True, 180, [2, 3, 4])]

最后一行显示 2 项的最低值为 170，3 项的最低值为 180。所以 170 是整体的最低值。

Answer 2

您的问题提到总价值最小，但其组合重量等于或超过容量重量。 但是经典背包选择总和永远不会超过背包容量的重量。因此，除非进行一些更改，否则经典版本将无法使用。

一种方法是使权重为负，那么权重列表将是： [-10, -20, -30, -20, -5, -5]

使容量也为负：-50

然后，如果您在此修改后的列表上应用经典算法，即选择总权重小于或等于容量且具有最小值的权重，您将选择值为 (3,4) 的项目170。