排列运行时分析：迭代 DP 解决方案

Question

我的迭代DP方案如下：

def permutations(string):
    # let n = len(string)
    N = [[] for _ in range(len(string) + 1)] # O(n)

    N[0].append("")

    for i in range(1, len(string) + 1): # O(n)
        N[i] = [perm[:j] + string[i - 1] + perm[j:] for j in range(i) for perm in N[i - 1]] # O(???)

    return N[-1]

但是，我无法分析上述程序的运行时间。具体来说，限制for perm in N[i - 1] 行的运行时间。我知道递归解决方案是O(n!)，但是不知道递归运行时，我们如何才能找到上述程序的运行时呢？

Answer 1

让我们考虑

N[i] = [perm[:j] + string[i - 1] + perm[j:] for j in range(i) for perm in N[i - 1]]

作为我们的主要兴趣。

我们可以改写成

line 1: for i in range(1, len(string) + 1):                      # O(n)
line 2:     N[i] = []                                            # O(n)
line 3:     for j in range(i):                                   # O(sum i from 1 to n)
line 4:         for perm in N[i - 1]:                            # O(sum len(Ni) from 1 to n)
line 5:             N[i].append(perm[:j] + string[i - 1] + perm[j:])

现在，i = 1、line 3 和 line 4 将运行一次，留下 N[1] 的单个元素 string[0]。

对于i = 2，line 3 将运行两次，line 4 将在第一次运行时运行一次，在第二次运行 2 次，留下 N[2] 三个元素。

看到模式了吗？让我们快进。 6、24、120、720。

N   total runs  diff
1   1           1
2   3           2 
3   9           6
4   33          24
5   153         120
...

所以我们得到总复杂度

  n
 ____
 \ 
  >   k!
 /___
k = 0       (asciiart courtesy of sympy)

简化它非常复杂（https://math.stackexchange.com/questions/227551/），但我们可以确保它在O(n!) 边界内，因为k*k! 从 1 到 n 的总和是 (n+1)! - 1，所以我们得到的总运行时间为O(n!)，不依赖已知的递归运行时。