如何从背包 DP 矩阵导出所有解

Question

我正在研究背包问题的 DP 解决方案。拥有一个包含重量和价值的项目列表，我需要找到最大总价值小于某个预定义重量的项目。没什么特别的，只是0-1 knapsack。

我使用DP生成矩阵：

def getKnapsackTable(items, limit):
    matrix = [[0 for w in range(limit + 1)] for j in xrange(len(items) + 1)]
    for j in xrange(1, len(items) + 1):
        item, wt, val = items[j-1]
        for w in xrange(1, limit + 1):
            if wt > w:
                matrix[j][w] = matrix[j-1][w]
            else:
                matrix[j][w] = max(matrix[j-1][w], matrix[j-1][w-wt] + val)

    return matrix

其中项目是元组列表(name, weight, value)。现在有了一个 DP 矩阵，他的最大可能值是右下位置的数字。我还可以回溯矩阵以找到提供最佳解决方案的项目列表。

def getItems(matrix, items):
    result = []
    I, j = len(matrix) - 1, len(matrix[0]) - 1
    for i in range(I, 0, -1):
        if matrix[i][j] != matrix[i-1][j]:
            item, weight, value = items[i - 1]
            result.append(items[i - 1])
            j -= weight

    return result

太好了，现在我可以得到结果了：

items = [('first', 1, 1), ('second', 3, 8), ('third', 2, 5), ('forth', 1, 1), ('fifth', 1, 2), ('sixth', 5, 9)]
matrix = getKnapsackTable(items, 7)
print getItems(matrix, items)

将会看到：[('fifth', 1, 2), ('third', 2, 5), ('second', 3, 8), ('first', 1, 1)]。

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问题在于这不是一个独特的解决方案。代替'first' 元素，我可以使用'forth' 元素（这完全一样，但有时解决方案可能不同）。我试图弄清楚如何获得所有解决方案，而不仅仅是一个。我知道这需要更多时间，但我可以接受。

Answer 1

您可以照常计算原始 DP 矩阵（即使用 DP），但要找到所有最佳解决方案，您需要在从最终状态返回矩阵时递归。这是因为矩阵中的任何给定状态 (i, j) 至少有一个最优前驱状态，但 它可能有两个： 状态 (i, j) 的最大值可能是通过选择将第 i 项添加到状态 (i-1, j-w(i)) 的最优解中，或者通过将第 i 项排除在外并仅保留 (i-1, j) 的最优解来实现。这恰好发生在这两个选择产生相等的总值时，即当

matrix[i-1][j] == matrix[i-1][j-w(i)]+v(i),

其中 w(i) 和 v(i) 分别是对象 i 的权重和值。每当您检测到这样的分支时，您都需要跟踪每个分支。

请注意，可能存在大量最优解：例如，考虑所有项目的权重为 1 的情况。在这种情况下，所有 (n 选择 w) 解都是最优的。