在矩阵中回溯以获得最小元素

Question

[不确定我是否应该在这里发帖，如果没有请告诉我！]

问题在于method of Zucker's 的回溯过程，该过程使用动态编程来最小化二级 RNA 结构中的能量。

所以，我有上三角矩阵W，里面填满了这个公式：

W(i, j) = min([W(i,j-1),
               W(i+1,j),
               V(i,j),
               min_k   // I will use an example, where this argument is NOT used
             ]);

同时我也用这个逻辑填充回溯表B：

if(min was the first option)
  B(i, j) = 10;
elseif(min was the 2nd option)
  B(i, j) = 11;
elseif(min was the 3rd option)
  B(i, j) = 12;
else
  // doesn't matter now

我不确定是否必须显示V 的填充方式。

我确信这些矩阵的创建是正确的。

问题是我必须显示通向最小值W 的所有回溯路径。

请注意，这个问题不是关于给我代码。这是为了通过一个示例来了解如何执行回溯。我猜伪代码也应该可以解决问题。

例子：

x = CACGGUUAG // input
W =

      Inf      Inf      Inf        8        8        8        5        5        5
      Inf      Inf      Inf      Inf        8        8        5        5        5
      Inf      Inf      Inf      Inf      Inf        8        8        8        6
      Inf      Inf      Inf      Inf      Inf      Inf        8        8        8
      Inf      Inf      Inf      Inf      Inf      Inf      Inf        8        8
      Inf      Inf      Inf      Inf      Inf      Inf      Inf      Inf        8
      Inf      Inf      Inf      Inf      Inf      Inf      Inf      Inf      Inf
      Inf      Inf      Inf      Inf      Inf      Inf      Inf      Inf      Inf
      Inf      Inf      Inf      Inf      Inf      Inf      Inf      Inf      Inf

B =
         C        A        C        G        G        U        U        A        G
     ----------------------------------------------------------------------------
     C   0        0        0       12       10       10       11       10       10
     A   0        0        0        0       12       10       12       10       10
     C   0        0        0        0        0       12       10       10       12
     G   0        0        0        0        0        0       12       10       10
     G   0        0        0        0        0        0        0       12       10
     U   0        0        0        0        0        0        0        0       12
     U   0        0        0        0        0        0        0        0        0
     A   0        0        0        0        0        0        0        0        0
     G   0        0        0        0        0        0        0        0        0

据我所知，因为我找不到关于填充矩阵后如何进行的信息，所以我即兴创作。

我只知道回溯是从右上角开始的。 所以，我说：

if(B(i, j) == 10)
  go left
elseif(B(i, j) == 11)
  go down
else
  go left and down

在这个例子中产生

<-   GC  // left
<-   AC
|
v    UA  // down
 /
V    UC  // left and down
 /
v    UG

这似乎可行，因为如果您从数组W 中的 UG 出发，您会发现自己位于 W 的右上角，我认为这就是我们正在寻找的东西。

我提出的这个逻辑的问题是如何获得所有最优路径，而不仅仅是一个！

Answer 1

您需要扩展回溯表，使其指示存在多个最小值。你可以有这样的代码：

1. 第一个选项最少
2. 第二个选项最少
3. 第一个和第二个选项并列最低
4. 第三个选项最少
5. 第一个和第三个选项并列最低
6. 第二个和第三个选项并列最低
7. 第一个、第二个和第三个选项并列最低

然后将回溯更改为非确定性。如果您使用的是典型的命令式编程语言，通常的方法是创建一个递归函数，从给定的矩阵单元返回所有可能的轨迹。然后你在这样的循环中递归。

def backtrack(predecessors, cell):
    possibilities = []
    if cell == (0, 0);
        possibilities.append([cell])
    else:
        for predecessor in predecessors[cell]:
            for rest in backtrack(predecessors, predecessor):
                possibilities.append([cell] + rest)
    return possibilities