SPOJ：加权和

Question

给你 N 个整数，A[1] 到 A[N]。您必须为这些整数分配权重，以便它们的weighted sum is maximized。权重应满足以下条件：

1. 每个权重都应该是一个正整数。
2. W[1] = 1
3. 对于 i > 1，W[i] 应该在 [2, W[i-1] + 1] 范围内

加权和定义为 S = A[1] * W[1] + A[2] * W[2] + ... + A[N] * W[N]

例如：

n=4 , array[]={ 1 2 3 -4 } , answer = 6 when we assign { 1 2 3 2 } respective weights .

所以，据我的理解和研究，没有贪婪的解决方案是可能的。我在 pen n paper 上设计了许多测试用例，但无法得到一个贪婪的策略。

任何想法/提示/接近人们。

Answer 1

通过将权重j 分配给A[i]，让dp[i][j] 等于我们可以从A[1..i] 得出的最大加权和。显然dp[i][j] = j*A[i] + max(dp[i - 1][(j - 1)..N])。有O(N^2) 状态，我们的循环对每个状态都采用O(N)，因此总体时间复杂度将为O(N^3)。为了将其减少到O(N^2)，我们可以注意到我们的重复出现明显的重叠。

如果dp[i][j] = j * A[i] + max(dp[i - 1][(j - 1)..N])，那么

dp[i][j - 1] = (j - 1)*A[i] + max(dp[i - 1][(j - 2)..N]) = (j - 1)*A[i] + max(dp[i - 1][j - 2], dp[i - 1][(j - 1)..N]) = (j - 1)*A[i] + max(dp[i - 1][j - 2], dp[i][j] - j*A[i])

这意味着重复只需要 O(1) 来计算，给你 O(N^2) 的时间。

Answer 2

可以使用相当标准的动态规划方法在 O(N³) 时间内解决此问题。令 V(k,u) 表示当 Wₖ₋₁ 具有值 u 时使用元素 k...N 可以获得的最佳值。观察到V(k,u)是g·Aₖ+V(k-1,g)的最大值，因为g的范围是2到u+1，V(N,u)是(u+1)· A_N 如果 A_N 为正数，否则为 2·A_N。

请注意，在任何 V(k,u) 计算中 u 最多为 k，因此 (k,u) 有 N*(N-1)/2 个可能的值，因此概述的方法使用 O(N² ) 空间和 O(N³) 时间。

Answer 3

这里有一些见解，可能会让您或其他人想出一个非常快速的解决方案。请注意，对于最佳解决方案，您可以放心地假设在每一步中，您将权重从前一个权重增加 +1，或者将权重一直降低到最小值 2。要看到这一点，假设您有违反性质的最优解。然后你在某个位置i-1 有一些权重> 2，下一个权重在i 位置也> 2，但没有增加。现在考虑从位置i 开始的最优解中权重的最大长度弱增加子序列（弱增加意味着在子序列中的每一步，权重都不会减少）。通过假设，这个子序列的最优解并不比相同的解差，除了子序列的所有权重都减去 1。但这意味着将子序列中的所有权重增加 1 也不会使最优解变得更糟。因此，为了获得最佳解决方案，您可以在每一步安全地假设您将权重增加 1 或将权重设置为最小值 2。