装箱，决策与优化答案

【问题标题】：Bin packing, Decision vs Optimization装箱，决策与优化
【发布时间】：2013-12-01 05:38:26
【问题描述】：

对于一项作业，我收到了装箱问题，并要求我展示如何从优化版本解决问题的决策版本，反之亦然。我知道要解决决策版本，您只需将优化版本中使用的 bin 数量与指定的最大 bin 数量进行比较，但我如何使用决策版本来解决优化版本？

【问题讨论】：

【解决方案1】：

您可以使用决策版本来解决优化版本，通过观察如果N bins 足够，那么K > N bins 也足够。

从单个 bin 开始，然后在其上运行决策版本。如果答案是true，你就完成了；否则，请继续将垃圾箱数量加倍，直到达到true。假设您在尝试N = 2 ^ k 时得到true 的答案。然后您可以在M = 2^(k-1) 和N 之间运行二分搜索，以找到优化问题的精确解（N 和k 都来自上一步）。

考虑这个例子：假设最优解是 14。然后您可以尝试以下决策问题序列来找到答案：

1 --> false
2 --> false（加倍1）
4 --> false（加倍2）
8 --> false（加倍4）
16 --> true（加倍 8；我们有一个 true，所以继续进行二分搜索）
12 --> false（8 到 16 之间的中点）
14 --> true（12 到 16 之间的中点）
13 --> false（12 到 14 之间的中点）

一般来说，可以在对数时间内找到答案（即在 Log₂(Answer) 中）。

一旦您知道包装 X 对象所需的箱数 N 后，请在一侧的项目和另一侧的 N 箱之间运行二分匹配算法。假设正确解决了决策问题，那么这样的二分匹配肯定存在，and can be found in polynomial time。

【讨论】：

我可以看到你打算用这个去哪里，这将产生正确数量的垃圾箱。但我看不出它是如何判断每个垃圾箱中的物品的？
如果大小为 n 的决策问题需要f(n) 步，那么查找大小需要sum_{n \in S}f(n) 步，其中 S 是需要测试的O(log(N)) 大小的问题大小集。
最后一段是完全错误的。 Bin-Packing 决策问题是 NP-Complete，这意味着搜索问题是 NP-Hard。如果您的算法是正确的，则 P 必须等于 NP，因为 Bin-Packing 问题的搜索变体可以通过以下算法在多项式时间内解决：“对于特定数量的 bin $k$，运行二分匹配算法从item到bins。如果返回的匹配有效，则输出赋值，否则输出问题无解。为了使您的算法起作用，这个也是如此。它没有。
@codetaku NP-hardness/NP-completeness 与我的答案有什么关系？ OP 想知道如何解决装箱优化问题，假设他已经有一个决策问题的解决方案。没有别的了。
@codetaku 要详细说明上述评论，他插入到我描述的算法中的解决方案可能需要很长时间来计算。我假设他给了我一个解决决策问题的函数——就像变魔术一样。我的工作是构建一个使用该魔术算法作为构建块的优化解决方案。如果该算法恰好是 NP-Complete，我的算法将需要很长时间。