一系列文件的最短压缩时间

Question

有点算法问题，或者可能是优化问题，或者动态规划。

假设我们有 N 个文件要压缩。 平均压缩比为 L。 文件的压缩时间取决于两个因素 - 1. 当前正在处理的文件的大小，以及 2.系统剩余内存空间（总计=M，占用=压缩文件和未压缩文件的文件大小之和）

所以

t(i) = K * s(i) / (M-L*(s(1)+s(2)+....+s(i))-(s(i+1) + s(i+2) + .....+ s(n))

其中 s(i) 是第 i 个文件的大小，t(i) 是压缩第 i 个文件所用的时间。

我要做的是计算要压缩的文件的最佳系列，以使所需的总时间最短。那么如何计算这个系列呢？

Answer 1

似乎最好的方法是按大小对文件进行排序并进行处理。这种贪婪的做法可以解释为“先压缩小文件，避免先压缩大文件”。

可能的批准是：

如果我们有两个文件 A,B 使得 size(A)

t(A,B)

A/M + B/(M - L*A)

A*(1/M - 1/(M - L*B))

B/A >= (1/M - 1/(M - L*B)) / (1/M - 1/(M - L*A)) = B*(M - L*A) / (A*(M - L*B))

1 >= (M - L*A)/(M - L*B)

-L*B >= -L*A

B >= A

所以这意味着第一个方程式也是正确的（如果没有在某处失败：D）

排序为我们提供了每对文件 A

我为 N

测试：N、L、M、K 和 N 个文件

8 0.5 80.0 1.0

7 1 6 3 4 5 6 5

结果：

0.515769

1 3 4 5 5 6 6 7

#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;

// will work bad for cnt > 10 because 10! = 3628800
int perm[] = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9};
int bestPerm[10];
double sizes[10];

double calc(int cnt, double L, double M, double K, double T) {
    double res = 0.0, usedMemory = 0.0;
    for(int i = 0; i < cnt; i++) {
        int ind = perm[i];
        res += K * sizes[ind] / (M - L * usedMemory - (T - usedMemory)); 
        usedMemory += sizes[ind];
    }
    return res;
}

int main() {
    int cnt;
    double L,M,K,T = 0.0;
    cin >> cnt >> L >> M >> K;
    for(int i = 0; i < cnt; i++)
        cin >> sizes[i], T += sizes[i];

    double bruteRes = 1e16;
    int bruteCnt = 1;
    for(int i = 2; i <= cnt; i++)
        bruteCnt *= i;
    for(int i = 0; i < bruteCnt; i++) {
        double curRes = calc(cnt, L, M, K, T);
        if( bruteRes > curRes ) {
            bruteRes = curRes;
            for(int j = 0; j < cnt; j++)
                bestPerm[j] = perm[j];
        }
        next_permutation(perm, perm + cnt);
    }
    cout << bruteRes << "\n";
    for(int i = 0; i < cnt; i++)
            cout << sizes[bestPerm[i]] << " ";
    cout << "\n";

    return 0;
}

更新当所有文件pastebin L 不同时的实现（似乎蛮力更喜欢按压缩比 L[i] 的降序对它们进行排序并首先使用较小的文件，如果 L 相等）。

Answer 2

假设您有一个声称是最佳的时间表。考虑任何文件以及紧随其后处理的文件。如果您可以通过交换它们来改进时间表，那它就不是最佳的了。因此，如果您可以证明当两个文件并排时最好先处理一个小文件，然后再处理一个大文件，那么您可以证明最好的日程安排是按照最小文件的排序顺序排列的，因为您可以改进任何其他文件时间表。

因为您只是交换两个相邻的文件，所以在这两个文件之前和之后处理文件所花费的时间不会改变 - 之前和之后的可用内存量相同。您也可以缩放问题，以便其中一个文件的大小为一个单位。假设您在第一个文件之前总共有 K 个可用内存单元，并且假设第二个文件大小为 x 个单位，压缩比为 1:L，您最终会得到类似 1/K + x/(K+ L) - x/K - 1/(K - xL) 作为这对文件导致的压缩时间差异 - 我的代数非常容易出错，但我认为这可以归结为 L^2x(1- x) 在一些复杂但积极的事情上，这表明对于一对文件，您总是希望先压缩短文件，所以按照我之前所说的，最好的时间表是按排序顺序排列，最短的文件在前。