我该如何处理这个 Combinatorics Fence-Paint 算法？答案

【问题标题】：How do I approach this Combinatorics Fence-Paint algorithm?我该如何处理这个 Combinatorics Fence-Paint 算法？
【发布时间】：2016-12-13 19:53:11
【问题描述】：

我在 lintcode 上遇到了这个问题，并且我已经阅读了两个过去的解决方案，但它们对我来说都没有意义。

问题如下：

There is a fence with n posts, each post can be painted with one of the k colors.
You have to paint all the posts such that no more than two adjacent fence posts have the same color.
Return the total number of ways you can paint the fence.

给定 n =3，k=2，返回 6。

所以我理解的部分是如果 n=0（我们有 0 个帖子）或 k = 0（我们有 0 个绘画），我们不能绘画任何东西，所以返回 0

如果 n == 1，帖子可以用 K 种方式绘制，所以返回 k

当n为2时，如果相邻的柱子相等，我们可以用K*1的方式绘制它，如果相邻的柱子不同，我们可以用K*(K-1)的方式绘制它。

如果 n ==3 或更多：相同的相邻颜色将是：K * 1 * K-1 * 1 * K-1... 不同的是：K * K-1 * K-1 ....

我该如何从这里开始？我见过一个人再次用 [0, k, 2k, and 0] 创建一个矩阵，另一个人将“不同颜色”简化为 (k+k*(k-1)) * (k-1) 但我不知道他们中的任何一个是如何跳到结论的那一步

编辑：一个人的解决方案如下：

class Solution:
# @param {int} n non-negative integer, n posts
# @param {int} k non-negative integer, k colors
# @return {int} an integer, the total number of ways
def numWays(self, n, k):
    # Write your code here
    table = [0, k, k*k, 0]

    if n <= 2:
        return table[n]

    # recurrence equation
    # table[posts] = (color - 1) * (table[posts - 1] + table[posts - 2])
    for i in range(3, n + 1):
        table[3] = (k - 1) * (table[1] + table[2])
        table[1], table[2] = table[2], table[3]

    return table[3]

但我不明白为什么他的表格末尾有 [0]，以及他如何建立递归方程

【问题讨论】：

标签： algorithm

【解决方案1】：

这个问题最困难的部分是设置递归。令 L 为返回给定 n 个帖子和 k 个颜色的组合数的函数。那么有两种情况需要考虑：

一个。添加两个相同颜色的帖子：

L(n+2,k) = (k-1)*L(n,k)

b.添加两个不同颜色的帖子：

L(n+1,k) = (k-1)*L(n,k)

给出论坛：

L(n,k) = (k-1)*(L(n-1,k)+L(n-2,k))

示例

对于 n=3 和 k=2，假设我们知道前两个帖子的组合数

n=1 | k = 2

n=2 | k*k = 4

现在要解决 n=3，我们需要使用之前计算的具有相邻 n=2 和 n=3 的值

一个。不同的颜色：通过添加一个不同于尾随的帖子，sum[2]*(k-1) = 4

b.相同颜色：后退一个瓦片并添加两个相同颜色而不是 n=1 的瓦片，得到 sum[1]*(k-1) = 2

至于矩阵，它是一个口味问题，像 current 和 prev 这样的变量也可以。

【讨论】：

【解决方案2】：

根据 Dominik G 的回答，可以给出一个明确的公式 L(n,k) 因为对于固定 k 它是 constant recursive sequence

我的结果是对于k >= 2，如果D = sqrt((k+1)^2 - 4) 和 u = (k-1+D)/2 和 v = (k-1-D)/2 是两个解决方案二次方程x^2 = (k-1)(x + 1)，则有n >= 1

L(n, k) = (k/(k-1))*((u^(n+1)-v^(n+1))/D

如果一个人可以计算足够的浮点精度。

嗯，恐怕乳胶格式在这里不起作用，但公式很容易理解

【讨论】：