找到打开灯泡所需开关的算法答案

【问题标题】：The algorithm to find the required switches to turn on a light blub找到打开灯泡所需开关的算法
【发布时间】：2014-09-03 06:02:19
【问题描述】：

假设您在一个带有N 开关的房间里，而隔壁房间里有一个灯泡。只有当某些特定的开关全部打开时，灯泡才会发光。

设置

switches = 所有开关的集合。 |switches| = N。
required = 需要打开才能使灯泡发光的开关。

不需要的开关无关紧要。

只有进入下一个房间才能检查灯泡是否发光。你可以打开或关闭一些开关，去隔壁房间检查灯泡，然后重复这个过程。让我们称之为一次尝试。

假设有N 开关，在最坏的情况下，找出required 开关集所需的最少尝试次数是多少（使用优化策略）？

例如，

switches = { 1, 2, 3 }
required = { 1, 2 }

让我们尝试一种简单的方法：

打开{ 1, 2 }，灯会发光。（确保不需要开关 3）
打开{ 1, 3 }，灯不亮。（确保需要开关 2）
打开{ 2, 3 }，灯不亮。（确保需要开关 1）

因此通过 3 次尝试，我们可以确保 required = { 1, 2 }。

这个问题的优化算法是什么？

让worst(N) 成为考虑N 在最坏情况下切换的最小尝试。你能找到worst(N)

更新：如果你认为worst(N) = N，你能提供一个正式的证明吗？

【问题讨论】：

这就像公牛和奶牛的简化版。
在最坏的情况下，它们都是必需的，并且需要 N 次尝试来验证它。对？因为每次尝试都会告诉您是否需要一组开关中的至少一个元素。所以你不能一次将你知道的数字增加超过 1 个。
能否请您澄清一下：非必需的开关是忽略，还是会关闭灯泡？例如。如果我们打开每个开关，包括不需要的开关，灯泡会亮吗？如果是这样，这可以为二进制搜索方法奠定基础。
@PelitMamani。不需要的开关被忽略。抱歉描述不清楚
@miaout17 只有在所需开关的数量已知并且它们是1 or N - 1 时才会有 log(N) 解决方案。

标签： algorithm math

【解决方案1】：

证明最坏的情况需要至少 N 次尝试

如果有 N 个开关，则可以有 2^N 个可能的“必需”集，因为每个开关都可以在“必需”集之内或之外。

为了区分 2^N 个可能的集合，您可以这样想，因为我们需要通过摆弄开关来获得至少 N 位的信息。如果不是，则可能有超过 1 个集合都可以拟合我们目前所知道的信息。

假设有 8 种可能的配置 (N = 3)，我们可以选择配置子集并查询“必需”配置是否在所选子集中。最好的方法是类似于二分搜索，实现 log(2^N) 的复杂性，这只是 N 次尝试。如果我们使用少于 3 次尝试，我们将留下至少 2 种配置，我们无法确定哪个是正确的，因为每次尝试都会消除一半可能的配置。

回到最初的问题，假设我们到目前为止使用了 K 次尝试，其中 K

要获得“必需”集的 1 个不同的可能配置，我们需要 K = N，这将为我们提供 2^(N-N) = 2^0 = 1 个可能的配置。

这为我们提供了这个问题的下限，因为每次尝试都会提供 1 位信息（是的，它会亮起/否，它不会亮起）。因此，我们将需要至少 N 次尝试。

尝试不超过 N 次的可能解决方案

由于“非必需开关无关紧要”，如果我解释正确，这意味着如果打开“必需”设置之外的开关，除了“必需”设置中的开关，灯会还在继续。由于我们有 N 次尝试使用（并且仍然使其最佳），我们可以使用以下解决方案：对于每个开关（按顺序），打开除此开关之外的所有其他开关。检查灯是否关闭。如果它被关闭，唯一保持关闭的开关将在“必需”集中。

此解决方案将使用 N 次尝试（即使在更坏的情况下），它是最佳解决方案之一（如前所述）。

【讨论】：

我认为您的描述可能是正确的，但我不确定。你能用更数学的方式形式化第二段吗？感谢您抽出宝贵时间回答我的问题。
感谢您的更新。我需要一些时间来考虑一下。投票赞成。
已接受。解释得很好！感谢您花时间回答我:)

【解决方案2】：

假设有 N 个开关，在 WORST CASE 中，找出所需开关集合所需的最少尝试次数是多少（使用优化策略）？

蛮力的方法，检查所有可能的开关组合，直到灯亮起，这将是O(2^N)（尽管我们可能很幸运，在第一次尝试后就打开了灯）。

通过更优化的搜索，可以在最坏的情况下找到所需的开关集O(N) 尝试。这是始终为O(N) 的一种方式：

打开所有N开关：我们知道灯会亮。
关闭开关 1。如果灯熄灭，则需要开关 1，然后将其重新打开。如果灯一直亮着，请关闭开关 1，因为这不是必需的。（使用了一次尝试）。
关闭开关 2：如果灯熄灭，则需要开关 2，因此将其重新打开。如果灯一直亮着，请关闭开关 2，因为它不是必需的。（使用了两次尝试）。
对剩余的每个开关重复此检查。（N 尝试使用）。
N 尝试后，我们剩下的一组所需的开关处于打开位置。

正如其他答案/cmets 中所述，在最佳情况 O(log(N)) 和最坏情况 O(N) 中也可以找到所需的开关集：

打开所有N 开关：我们知道灯会亮。
翻转第一个N/2 关闭。在灯一直亮着的情况下，不需要这些开关，所以我们可以关闭这些开关。移动到仍然打开的N/2 开关组并重复此步骤...
如果灯熄灭，则至少需要其中一个N/2 开关：重新打开开关，将设备分成两半并重复上一步...
李>

这种算法是最坏的情况O(N)，因为我们可能必须单独检查每个交换机（例如，如果有 10 个交换机并且所需的配置是 0101010101）。

【讨论】：

我的意思是，所需的开关集可以在 best 案例O(1) 中找到。只打开开关1，检查灯是否亮。如果是，那么您就在那里得到了答案。如果不是，则返回线性扫描。
我同意...我的回答描述了一些比打开每个可能的开关组合更优化的策略。我正在解决第一个问题（“在最坏的情况下，使用优化策略所需的最少尝试次数是多少？”）
如果需要所有开关，实际最坏的情况不会是 O(N + log(N)) 吗？
O(N + log(N)) 等价于O(N)（因为N 支配log(N)）。

【解决方案3】：

假设我们需要尝试所有可能的 N 个开关组合。我们可以将其表示为二进制数，例如 0101，并且我们要检查每个二进制数。一种天真的方法就是依次遍历每个数字：0000（全部关闭）、0001（开关 4 开启）、0010（开关 3 开启）、0011（开关 3 和 4 开启）。请注意，如何从 0001 到 0010 实际上需要两个步骤，即关闭 4 和打开 3。

一种称为Gray code 的更好算法会遍历每个数字，因此每次只切换一个数字。顺序是 0000, 0001, 0011, 0010, 0110, 0111, 0101, 0100, 1100, 1101, 1111, 1110, 1010、1011、1001、1000。

编辑：我认为这解决了一个稍微不同的问题，即点亮某些开关需要关闭才能点亮。

【讨论】：