图中的最小破坏成本

Question

我们得到一个图 G(V,E)，它有 N 个节点（编号从 0 到 N-1）并且正好是 (N-1)双向边.

图中的每条边都有一个正成本 C(u,v)（边权重）。

整个图是这样的：任何一对节点之间都有唯一的路径。

我们还得到了一个节点号列表L，炸弹被放置在该列表中。

我们的目标是损坏/移除图表中的边缘，这样，在损坏/移除图表中的边缘后，炸弹之间就没有联系了 --

即伤害后，任意两颗炸弹之间没有路径。

破坏边缘的成本(u,v) = 边缘权重(u,v)。

所以，我们必须破坏这些边缘，以使总破坏成本最小。

例子：

Total Nodes=N=5 
Total Bomb=Size of List L=3

List L={2,4,0}//Thats is at node number 2,4 and 0 bomb is placed...

Total Edges =N-1=4 edges are::

u v Edge-Weight

2 1 8

1 0 5

2 4 5

1 3 4



In this case the answer is ::
Total Damaging cost =(Edge Weight (2,4) + Edge Weight(0,1))
           =5+5=10.

So when we remove the edge connecting node (2,4),
and the edge connecting node (0,1) ,there is no connection left 
between any pair of machines in List {2,4,0};

Note any other,combinations of edges(that  we damaged ) to achieve the
target goal ,needs more than 10 unit cost.  

Constraints::
N(ie. Number of Nodes) <= 100,000
ListSize |L|(ie. Number of Bombs) <= N
1 <=Edge cost(u,v) <= 1000,000

我做了什么？

到目前为止，我还没有找到任何有效的方法:( .

进一步，由于节点的数量是N，边的数量正好是N-1，并且整个图是这样的，在任何一对节点之间都有一条唯一路径，我得出的结论是图是一棵树。

我尝试修改 Kruskal 算法，但也没有用。

谢谢！

Answer 1

我认为修改后的 Kruskal 是最好的选择。

取图 G'=(V', E'), V'=V, E'={}。 以成本的非递增顺序对 E 中的边进行排序。 现在，对于 E 中的每条边，将其添加到 E' 中，当且仅当它不连接两个组件，这两个组件的顶点都带有炸弹。 结果是 E-E' 的成本之和。

编辑：

在你的例子上运行这个。

最初，我们的边集是空的 {}，我们取边以非升序排序 [(1, 2), (0, 1), (2, 4), (1, 3)]

因此，一开始，我们的图表由 5 个不连贯的组件组成。

(1, 2) 的成本为 8，它连接的组件中只有一个有炸弹。所以我们将它添加到 E'。 E'={(1, 2)} 我们有 4 个组件。

下一个最高成本边是 (0, 1)，成本为 5。但两个组件都有炸弹，所以不要添加这条边。

下一个是 (2, 4)。这也连接到带有炸弹的组件，所以我们也跳过了。

最后，成本最低的边是 (1, 3)。由于其中一个组件（仅包含节点 3）没有炸弹，我们将其添加到 E'。

这给了我们 E' = {(1,2), (1, 3)}。

我的理由是，我们尝试在成本较低的边缘之前添加成本较高的边 - 这可确保在原始节点中存在炸弹的节点之间的任何路径中，除了最低成本之外的所有边都将被添加。

Answer 2

这是树中的多路切割问题。它可以通过简单的动态规划在多项式时间内求解。参见 Chopra 和 Rao：“On the multiway cut polyhedron”，Networks 21(1):51–89, 1991。

Answer 3

我认为这可以在线性时间内完成。

以某个顶点为根，然后自底向上遍历。

从一片叶子开始。如果没有炸弹，切掉叶子并继续前进。 如果有炸弹，您必须在通往这片叶子的路径上切割一个边缘。向上传播有关最便宜边缘的信息。

那么当你在内部顶点时，你有这样的可能性： 如果顶点有炸弹，下面有一些炸弹，请切断所有这些炸弹的最便宜路径。 如果没有炸弹并且下面只有一颗炸弹，则传播有关最便宜路径的信息。 如果下方有更多炸弹，则将除最昂贵路径的炸弹之外的所有炸弹都砍掉。

Answer 4

这是我的假设：

图 G 是一棵树。因此，任何两个节点之间只有一条路径。

假设有 L 红色（炸弹）节点和 V-L 白色（非炸弹节点）。该解决方案需要将 G 划分为 L 个子树的森林。这需要移除至少 L-1 个边。

每个被移除的边缘都必须位于两个红色节点之间的路径上。

A.修剪树 G 以删除所有 不参与两个红色节点之间路径的边。

1. 从考虑中删除白色叶节点（和入射边）。
2. 重复 #1 直到修改后的图中没有白色叶节点。

B. 在 (A) 之后，图中剩下的所有边都是形成两个红色节点之间的路径的边。

选择这棵树中权重最小的边。这将产生两棵子树，每棵树至少包含一个红色节点。

C.如果 B 中创建的每个子树包含一个以上的红色节点，则返回步骤 A。

这是 O(V log V) (|E| 是 |V| -1 )。

Answer 5

我认为以下建议应该可行：

• 1) 从炸弹开始，在你的例子中我从：0
• 2) 创建包含所有相邻节点的路径。所以，带着所有的关系，和他们一起开始一条路。在您的示例中，它将开始一条路径：0 -> 1。
• 3) 如果你在路径上击中另一个炸弹，你会以最低的成本移除边缘。在示例中，我们没有击中炸弹，因此我们继续第 2 步。
• 3A) 任何路径中都没有炸弹。继续步骤 2 并使用新的相邻节点扩展路径。在您的情况下，将创建一个新路径：1 -> 3。现有的将被扩展：0 -> 1 -> 2
• 3B)在路径上发现炸弹。走找到炸弹的路径，去掉成本最低的边。在您的示例中，路径 0 -> 1 -> 2 包含一个炸弹 (2)。因此，我们删除与成本 5 的关系。从“待办事项”中删除路径，并在最后到达的节点（2 和 3）上继续执行步骤 2。

最后你应该只遍历每个节点一次。 如果我没记错的话，复杂度应该是 O(n log n)

Answer 6

http://www.cs.ust.hk/mjg_lib/Classes/COMP572_Fall06/Notes/Tree_Multicut.ps

有算法的描述。

后记文件的Google HTML version

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http://dspace.mit.edu/bitstream/handle/1721.1/5394/OR-308-95.pdf?sequence=1

情况 k = 2 不是多路割问题的唯一多项式可解实例。 Lovdsz [12] 和 Cherkasskij [3] 表明，当 ce = 1 Ve E E 和 G 是欧拉时，多路 割问题是多项式可解的。 Erdos 和 Sz6kely [8] 已经表明， 当底层图 G 是一棵树时，多路切割问题是多项式可解的。 Dalhaus 等。人。 [7] 表明该问题对于平面图上的固定 k 是多项式可解的。

我昨晚写了一个简单的基于贪心算法的解决方案，其中包括删除不在两个红色（终端）节点之间的路径上的节点，然后选择最小的权重节点，然后在子节点上重复该过程树木。我删除了它，因为进一步阅读表明问题是NP。但是这个参考表明存在多项式解决方案......