如何使用递归最大化和最小化数学表达式？答案

【问题标题】：How do I maximise and minimize the mathematical expression using recursion?如何使用递归最大化和最小化数学表达式？
【发布时间】：2015-04-02 22:03:09
【问题描述】：

表达式由数字 (0-9) 组成，由两个运算符“*”和“+”之一分隔。字符之间没有空格。

例如：1+2*3+4*5

我们需要找出在适当位置使用括号可以得到的最大值和最小值。

最大值：105 = (1+2)*(3+4)*5

最小值：27 = 1+2*3+4*5

我正在寻找一种递归方式来做到这一点？任何想法将不胜感激。

【问题讨论】：

我们应该使用的括号数量是固定的吗？
1+(2*3)+4*5 和其他变种也是最低要求
@MrGreen：不，它不是固定的。您可以根据需要添加任意数量。问题是你能达到的最大值是多少。
@KarolyHorvath：在所有情况下最小值都是 27 并不重要。

标签： algorithm recursion dynamic-programming

【解决方案1】：

最小化：

解决方案的主要思想：与其考虑如何添加括号，不如考虑最后一个操作是哪个操作。让我们写一个递归函数minimize(expr)。它应该怎么做？如果给它一个数字，它应该只返回它。否则，我们可以遍历其中的所有运算符，为运算符左侧和右侧的部分表达式调用 minimize 并组合结果。现在我们只需要选择最小值。

这是一些伪代码：

int minimize(string expr)
    if isNumber(expr) then // If it is one number, return it.
        return value(expr)
    int res = infinity
    for int i <- 0 .. lenght expr - 1
        if expr[i] == '+' then
            res = min(res, minimize(expr[0 .. i - 1]) +
                           minimize(expr[i + 1 .. length expr - 1])
        if expr[i] == '*' then
            res = min(res, minimize(expr[0 .. i - 1]) * 
                           minimize(expr[i + 1 .. length expr - 1])
    return res

最大化：

几乎相同，但我们应该在每一步取最大值而不是最小值。

为什么是正确的？当我们将非负数相乘和相加时，操作数越大（越小），结果越大（越小）。

我们还可以使用 memoization 来避免重复计算同一表达式的结果两次（或多次）并获得多项式时间复杂度。

【讨论】：