我该如何解决这个动态规划问题（获胜策略）？

Question

我遇到了这个 dp 问题。如下：-

艾莉亚史塔克和珊莎史塔克是姐妹，但经常因为一个或另一个原因互相打架。最近，珊莎在狩猎游戏中作弊打败了艾莉亚，并取笑她。艾莉亚充满愤怒，想要报仇。艾莉亚召唤她的姐姐珊莎参加战斗，珊莎接受了。

战斗由 R 轮组成，每轮将测试不同的技能。该技能可能是射箭，剑术或其他任何东西。每轮结束后，该轮的获胜者将获得一分。完成所有 R 轮比赛后，得分最高的一方为总冠军。

Arya 很生气，不仅想赢得战斗，还想以这样的方式击败 Sansa，在每一轮之后，她的分数至少是 Sansa 的 P 倍。她正忙于准备战斗，并听说过你的技能。她希望你找出在提供的条件下她可以用多少种方法打败珊莎并报仇。

获胜的顺序区分不同的方式。 示例：让我们考虑一下，有 3 轮。

案例一：艾莉亚第一轮赢，珊莎第二轮，艾莉亚第三轮

顺序：- 艾莉亚，珊莎，艾莉亚

案例2：艾莉亚赢了第一轮，艾莉亚也赢了第二轮，珊莎赢了第三轮

顺序：-Arya,Arya,Sansa

上述两种情况彼此不同，被认为是两种不同的方式。

注意：因为答案可能很大，所以取模 10^9 + 7。

输入格式： 输入的第一行包含测试用例的数量，T 每个测试用例的唯一一行由两个空格分隔的整数 R 和 P 组成。

约束： 1

1

1

输出格式：-

对于每个测试用例，在单独的一行中打印出可能的方法数。

示例测试用例 1

输入

2 4 2 2 2

输出

3

1

解释 测试用例 1：

在给定条件下，Arya 可以通过三种方式获胜

方式 1：前三轮由 Arya 获胜，最后一轮由 Sansa 获胜

艾莉亚， 艾莉亚， 艾莉亚， 珊莎

方式 2：前两轮比赛由 Arya 获胜。第三轮由珊莎获胜，最后一轮由艾莉亚获胜。

艾莉亚， 艾莉亚， 珊莎， 艾莉亚

方式 3：Arya 赢得所有四轮比赛。

艾莉亚， 艾莉亚， 艾莉亚， 艾莉亚

测试用例 2：在这种情况下只有一种获胜方式，即 Arya 赢得两轮比赛。

艾莉亚， 艾莉亚

我的问题代码：-

enter code gghere
#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

typedef long long int ll;
ll e=1000000007;
ll a2[2000][2000];
int main() 
{ll t;
cin>>t;
ll t1=t;
while(t--)
{

ll r,p;

cin>>r>>p;


//map<pair<ll,ll>,ll> a2;
//a2[{1,0}]=1;


a2[1][0]=1;
ll w[20000][9];
ll op=0;
w[op][0]=1;
w[op][1]=0;
w[op][2]=1;
op++;

ll i1=0;
ll i=2;
while(i<=r)
{



ll b[20000][7];
ll pass=0;
i1=0;
while(i1<op)
{

ll c1,c2;
ll c3;
c1=w[i1][0]%e;
c2=w[i1][1]%e;
c3=w[i1][2]%e;



if((c1+1)>=p*c2)
{
 //....(c1+1,c2)+=c3
 b[pass][0]=c1+1;
 b[pass][1]=c2;
 b[pass][2]=c3%e;

 pass++;
}
if(c1>=p*(c2+1))
{   
 b[pass][0]=c1;
 b[pass][1]=c2+1;
 b[pass][2]=c3%e;
 //.......(c1,c2+1)+=c3
 pass++;
}

i1++;  
}

i1=0;
while(i1<op)
{
ll x1=w[i1][0];
ll x2=w[i1][1];
a2[x1][x2]=0;
w[i1][0]=0;
w[i1][1]=0;
w[i1][2]=0%e;


i1++;
}

op=0;
ll j=0;
while(j<pass)
{


    ll x1=b[j][0];
    ll x2=b[j][1];
    ll x3=b[j][2]%e;

    if(a2[x1][x2]==0)
    {

        w[op][0]=x1;

        w[op][1]=x2;

        op++;
    }
    else
    {


    }


    a2[x1][x2]=(a2[x1][x2]%e+x3%e)%e;




    j++;
}

i1=0;
while(i1<op)
{
    ll m1=w[i1][0];
    ll m2=w[i1][1];

    w[i1][2]=a2[m1][m2]%e;



    i1++;
}









i++;
}

i1=0;
ll c4=0;
while(i1<op)
{

ll c1,c2;
ll c3;
c1=w[i1][0]%e;
c2=w[i1][1]%e;

//cout<<c1<<" "<<c2;

//cout<<"\n";


c3=w[i1][2]%e;
c4=(c4%e+c3%e)%e;
//cout<<c1<<" "<<c2<<" "<<c3<<"\n";
c4=c4%e;
i1++;  
}
cout<<c4;

cout<<"\n";




ll o=0;
while(o<=1500)
{

ll p=0;
while(p<=1200)
{

a2[o][p]=0;

p++;
}



o++;
}







}



return 0;    
}

我想确认我的方法是否正确，如果是，那我需要改变什么？我可以做得更好吗？

谢谢:-)

Answer 1

不明白你的方法。您可以将此问题转换为以下等式：

f(currentMatch,aryaWon) = f(currentMatch+1,aryaWon+1) + f(currentMatch+1,aryaWon)

从你可以推导出的状态，

sansaWon = currentMatch - aryaWon

基本情况是，

if(aryaWon < p * sansaWon ) return 0 和

if(currentMatch == r) return 1

下面是实现：

#define mxn 1003
#define mod 1000000007
int p,r;
int dp[mxn][mxn];

int f(int match,int arya) {
        int sansa = match - arya;

        if(arya < p * sansa) return 0;

        if(match == r) return 1;

        if(dp[match][arya] != -1)
                return dp[match][arya];

        int ans = f(match+1,arya + 1) + f(match+1,arya);
        ans %= mod;

        return dp[match][arya] = ans;
}

int main()
{
        int t;
        cin >> t;
        while(t--) {
                cin >> r >> p;
                memset(dp,-1,sizeof dp);
                cout << f(0,0) << endl;
        }
        return 0;
}

时间和空间复杂度为O(r^2)