我的任务需要有效的解决方案

Question

我只是解决了这个问题，但想知道更有效的矩阵乘法方法

 M = | 1 0 3 |
     | 1 0 2 |
     | 0 5 0 |

f[n] = M^n

我已经使用Exponentiation_by_squaring实现了

还有比这更有效的吗？

Answer 1

我想，这实际上更适合数学，因为有一个封闭形式的解决方案。是Linear homogeneous recurrence relations with constant coefficients的系统。

另一种可能性：您可以通过导出两个步骤的公式来两次加速程序，即通过RR(i-2)等表达RR(i)等。

这可以重复，所以你可以跳得更快。

Answer 2

一个问题是您的计算溢出了。如果你在 K=1 和 J=9 的情况下运行它，你会得到 -334328541#510576792#-817751931。
最简单的解决方法是在calculateProduction 中执行% 1000000006。

关于效率，我会将此问题视为执行矩阵乘法。 你从向量开始（即 1*3 矩阵）：

3 1 0

并且在每一步都将它（mod 1000000006）与矩阵相乘：

1 1 0
0 0 5
3 2 0

我们称向量V和矩阵M。基本上你需要计算V*M^N。由于矩阵乘法是关联的，您可以先计算 M^N，然后递归执行：
M^N = (M^N/2)² 如果 N 是偶数，或者
M^N = M*(M^[N/2])² 如果 N 是奇数

Answer 3

您不需要计算 MM。这就是为什么：

PP[i] = 5*MM[i-1] = 5*(RR[i-2] + 2*PP[i-2])
RR[i] = RR[i-1] + 3*PP[i-1] = (RR[i-2] + 3*PP[i-2]) + 3*PP[i-1]

看到了吗？您不需要在每一步都计算 MM。这应该是算法：

public class RecurrenceMachine {
    private static final int max = 1000000006;

    public String calculate(int k, int j) {
        long n = k * j;
        if (n < 1)
            return "error";
        long RRi2 = 3;
        long PPi2 = 0;
        long RRi1 = 3 + 3 * PPi2;
        long PPi1 = 5 * 1;
        if (n == 1)
            return RRi1 + "##" + (RRi2 + 2 * PPi2) + "##" + PPi1;
        Long PPi = (long) 0, RRi = (long) 0, temp;
        int i;
        for (i = 2; i <= n; i++) {
            temp = RRi2 + 2 * PPi2;
            PPi = 5 * temp;
            if (PPi >= max)
                PPi %= max;
            RRi = temp + PPi2 + 3 * PPi1;
            if (RRi >= max)
                RRi %= max;
            RRi2 = RRi1;
            PPi2 = PPi1;
            RRi1 = RRi;
            PPi1 = PPi;
        }
        return RRi + "##" + (RRi2 + 2 * PPi2) % max + "##" + PPi1;
    }
}

我只尝试了较小的值，它似乎有效。