能被给定两个数整除的 N 位数答案

【问题标题】：Number of N-digit numbers that are divisible by given two numbers能被给定两个数整除的 N 位数
【发布时间】：2020-08-29 12:08:36
【问题描述】：

我的一个朋友在 google 编码竞赛 中遇到了这个问题。问题来了。

找出能被 X 和 Y 整除的 N 位数。由于答案可能非常大，因此以 10^9 + 7 为模打印答案。

注意： 0 不被视为一位数。

输入： N、X、Y。

约束：

Eg-1 :
N = 2, X = 5, Y = 7
输出：2（35和70是必需的数字）

Eg-2 :
N = 1，X = 2，Y = 3
输出：1（6 是必需的数字）

如果对 N 的约束更小，那么它会很容易（ans = 10^N / LCM(X,Y) - 10^(N-1) / LCM(X,Y)）。

但是 N 高达 1000，因此我无法解决它。

【问题讨论】：

标签： algorithm time-complexity largenumber

【解决方案1】：

这个问题看起来是为了更难，但我会按照你说的方式做：

ans = floor((10^N-1)/LCM(X,Y)) - floor((10^N-1-1)/LCM(X ,Y))

诀窍是快速计算条款。

令 M = LCM(X,Y)，假设我们有：

10^a = Mq_a + r_a，和

10^b = Mq_b + r_b

我们可以很容易地计算出来：

10^a+b = M(Mq_aq_b + r_aq_b + r_bq_a + floor(r_ar_b/M)) + ( r_ar_b%M)

使用该公式，我们可以通过平方取幂在 2 log N 步中计算 10^N/M 的商和余数：https://en.wikipedia.org/wiki/Exponentiation_by_squaring

【讨论】：

但是c++不能存储这么大的数字。该值可以达到 10^10000。这是不可能存储在 c++ 变量中的
所有计算商的数学都可以通过 mod 10^9 + 7 来完成，得到你的最终答案 mod 10^9 + 7

【解决方案2】：

以下python适用于这个问题，

import math
MOD  = 1000000007

def sub(x,y):
    return (x-y+MOD)%MOD

def mul(x,y):
    return (x*y)%MOD


def power(x,y):
    res = 1
    x%=MOD
    while y!=0:
        if y&1 :
            res = mul(res,x)
        y>>=1
        x = mul(x,x)
        
    return res
        
def mod_inv(n):
    return power(n,MOD-2)

x,y = [int(i) for i in input().split()]

m = math.lcm(x,y)
n = int(input())
a = -1
b = -1
total = 1
for i in range(n-1):
    total = (total * 10)%m
b = total % m
total = (total*10)%m
a = total % m

l = power(10 , n-1)
r = power(10 , n)

ans = sub( sub(r , l) , sub(a,b)   )
ans = mul(ans , mod_inv(m))

print(ans)

这个问题的方法很简单，

让, m = lcm(x,y)

让， 10^n -1 = m*x + a

10^(n-1) -1 = m*y + b

现在从以上两个等式可以清楚地看出我们的答案等于 (x - y)%MOD .

所以，

(x-y) = ((10^n - 10^(n-1)) - (a-b)) / m

另外，a = (10^n)%m 和 b = (10^(n-1))%m

使用简单的模运算规则，我们可以在 O(n) 时间内轻松计算出 a 和 b。

对于公式中执行的减法和除法，我们可以分别使用模减法和除法。

注意：(a/b)%MOD = ( a * (mod_inverse(b, MOD)%MOD )%MOD

【讨论】：

python 中有内置的 pow 函数。 pow(a,b,c) 将计算 (a^b) % c。