你有 N 个守卫排成一列，每个守卫都需要硬币。只有当他的要求少于您在到达他之前已完全支付的金额时，您才可以跳过支付警卫。找出你花费最少的硬币来越过所有守卫。
我认为这是一个 DP 问题，但无法提出公式。另一种方法是对答案进行二分搜索，但我如何验证是否有多个硬币是可能的答案？
【问题讨论】：
标签： algorithm dynamic-programming
这确实是一个动态规划问题。
考虑函数f(i, j)，它是true（一个），如果有第一个i守卫的分配给你成本j。您可以将函数f(i, j) 排列在大小为n x S 的表中，其中S 是所有警卫需求的总和。
让我们将d_i 表示为守卫i 的需求。
如果您有f(i)，您可以轻松计算列f(i+1)，只需扫描f(i) 并在f(i + 1, j) 为真且j < d_i 或f(i + 1, j) 如果j >= d_i 时指定f(i+1, j + d_i) 为一。
这在O(nS) 时间和O(S) 空间中运行（您每次只需要保留两列），这只是伪多项式（如果需求以某种方式有界并且不随n 增长，则类似于二次） .
降低 DP 问题复杂性的一个常用技巧是获取最优解值的上限B。这样，您可以修剪不必要的行，获得 O(nB) 的时间复杂度（好吧，即使 S 是一个上限，但非常幼稚）。
事实证明，在我们的例子中，B = 2M，其中M 是守卫的最大需求。
事实上，考虑函数best_assignment(i)，它为您提供通过第一个i 守卫的最少硬币数量。
让j 成为需求M 的守护者。如果best_assignment(j - 1) > M，那么显然整个序列的最佳分配是为第一个j-1 守卫的最佳分配支付守卫并跳过其他守卫，否则上限由best_assignment(j - 1) + M < 2M 给出。
但是在第一种情况下best_assignment(j - 1) 可以是多少？不能超过2M。
这可以用反证法来证明。让我们假设best_assignment(j - 1) > 2M。在这个任务中，守卫j-1 有报酬吗？不，因为2M - d_{j-1} > d_{j-1}，所以不需要付费。对于j-2、j-3、...1，同样的论点成立，因此没有支付警戒，这是荒谬的，除非M = 0（一个非常幼稚的案例需要检查）。
由于上限被证明是2M，所以上面说明的带有n 列和2M 行的DP 解决了这个问题，时间复杂度O(nM) 和空间复杂度O(M)。
【讨论】：
f(i) 列，则复杂性应该稍微优化。树的叶子应该是花费s 的总和，这样f(i, s) = TRUE。这是我当时想到的唯一改进
51 , 50 , 52 中出错... acc 。对于您的解决方案，您会得到51 + 52，但正确的答案应该是51 + 50
function crossCost(amtPaidAlready, curIdx, demands){
//base case: we are at the end of the line
if (curIdx >= demands.size()){
return amtPaidAlready;
}
costIfWePay = crossCost(amtPaidAlready + demands[curIdx], curIdx+1, demands);
//can we skip paying the guard?
if (demands[curIdx] < amtPaidAlready){
costIfWeDontPay = crossCost(amtPaidAlready, curIdx+1, demands);
return min(costIfWePay, costIfWeDontPay);
}
//can't skip paying
else{
return costIfWePay;
}
}
这在 O(2^N) 时间内运行，因为每次执行它可能会调用自己两次。它是memoization 的一个很好的候选对象，因为它是一个没有副作用的pure function。
【讨论】：
这是我的方法：
int guards[N];
int minSpent;
void func(int pos, int current_spent){
if(pos > N)
return;
if(pos == N && current_spent < minSpent){
minSpent = current_spent;
return;
}
if(guards[pos] < current_spent) // If current guard can be skipped
func(pos+1,current_spent); // just skip it to the next guard
func(pos+1,current_spent+guards[pos]); // In either cases try taking the current guard
}
这样使用：
minSpent = MAX_NUM;
func(1,guards[0]);
这将尝试 O(2^N) 的所有可能性，希望对您有所帮助。
【讨论】：