从蛮力解决方案导出 LCS 的子解决方案表

Question

我正在使用动态编程解决 LCS 问题。我在不查看解决方案的情况下自己推导 DP 解决方案时遇到了麻烦。

我目前推断给定两个字符串，P 和 Q：

• 我们可以枚举出大小为2^n的P的所有子序列。
• 我们还可以枚举Q的所有子序列，其大小为2^m。

因此，如果我们要检查共享子序列，则运行时间将是 O(2^n * 2^m) 或 O(2^(n+m))。

我不明白我们如何从这种蛮力解决方案转到动态编程解决方案。子解表的推导逻辑是什么？

我只是不明白我们如何从这一点直接跳到 DP 的子解决方案表。这样做的逻辑是什么？

我了解我们需要确定重叠的子解决方案。但是我找不到一个很好的解释来识别这个然后进入子解决方案表。

让我知道这个问题是否有意义。

Answer 1

以下是为该算法创造魔力的基本思想。

考虑 2 个字符串 S1 和 S2，

S1 = c1,c2,c3,........cm, length = m

和

S2 = b1,b2,b3,........bn, length = n

假设你有一个函数LCS(arg1,arg2)，其中

arg1 = S1,m , string S1 of length of m

和

arg2 = S2,n ，长度为 n 的字符串 S2

和LCS(arg1,arg2) 将为我们提供两个参数的最长公共子序列的长度。

现在假设两个字符串的最后一个字符相同。

bn = cm

假设没有其他两个字符是相同的。这意味着：

LCS(arg1,arg2) = 1(last character) + 0(remaining strings)

现在，如果您已经理解了上面的等式，那么很明显，如果不是没有其他两个字符匹配我们确实有匹配的东西（在剩余的字符串中），那么：

LCS(arg1,arg2) = 1(last character) + LCS(arg1 - cm,arg2 - bn)(Remaining strings)

但是如果最后两个字符不匹配，那么肯定我们必须考虑每个字符串中的倒数第二个字符，这就是为什么我们在 最后 2 个字符不匹配：

LCS(arg1,arg2) = max(LCS(arg1 - cm,arg2) , LCS(arg1 ,arg2 - bn))