访问二进制矩阵中所有 1 的最短路径（允许访问 0 时）

Question

给定一个 n 行 m 列的矩阵 0

n=3 and m=4
1 1 0 0
0 1 0 0
0 0 0 1
soln: 5
The answer is 5 because, I will start from position(0 based indexing) 
(0,0)->(0,1)->(1,1)->(1,2)->(1,3)->(2,3)
n=3 and m=6
matrix is
1 1 1 1 0 0
0 0 0 1 0 0
1 1 1 1 0 1
soln: 11
The answer is 5 because, I will start from position(0 based indexing) 
(2,5)->moving horizontally left to (2,0)->moving vertically up to(0,0)->moving horizontally right to (0,3) -> moving down to (1,3) and hence with this we will be visiting all the vertices

我尝试过最小生成树等方法，广度优先搜索不是一个好主意。请记住，当您从点 x,y 开始移动时，您必须保持水平或垂直移动，直到您至少没有访问所有顶点一次。

Answer 1

这个问题似乎比我最初阅读它时所想的要难（双关语）。在我看来，这就像一条最小成本哈密顿路径 - 您必须以最小总成本访问无向图的每个顶点。

推荐阅读：

1. The Minimum Flow Cost Hamiltonian Cycle Problem
2. How to solve the Shortest Hamiltonian Path problem on Sparse Graphs?

如果我能想到一个相对简单的解决方案，我会告诉你的。

---

你给出的第二个例子是

1 1 1 1 0 0
0 0 0 1 0 0
1 1 1 1 0 1

以上可以翻译成

从给定的矩阵形成图形：

将每个1视为图中的一个节点，相邻顶点之间有一条边。

如何连接组件？

假设 C1 和 C2 是两个组件。找到一对 顶点，使得 v1 属于 C1，v2 属于 C2，并且 v1 和 v2 之间的距离是所有可能的 对中最小的。如何找到这样的一对？我会把它留作练习。试试看。如果做不到，请告诉我。

压缩边缘：

通过更多努力，您可以“压缩”图中的边。 “压缩”是指所有链都可以表示为一个节点。我试图分别借助颜色来表示上图中链的含义。尽管优化得很好，但压缩不是必需的。

如果一个顶点连接到两个以上的顶点，不要将其包含在压缩中，例如上面显示的黄色节点。请注意，由于我们上面讨论的组件连接，黄色节点连接到蓝色 1。

---

如果您使用0<=n, m <=30 约束，您可能不需要形成一个图形并对其进行压缩。正如您所说，这个问题是在校园安置编码轮中提出的，只需尝试使用输入矩阵，提交并检查是否超过时间限制。但是在面对面的讨论中，可能会期望通过某种方式进行优化，例如边缘压缩是我可以提出的一种优化，如果图形包含链或 1s 的数量较少，则可能会有所帮助与 0s 的数量相比 - 稀疏矩阵。

---