用 2x1 块填充矩阵并最小化剩余空间

Question

我给出了一个大小为 5xN 的矩阵，其中很少有单元格被阻塞，我需要使用大小为 1x2 的图块填充矩阵，以使剩余的空单元格最少可能的。我们可以水平或垂直放置 1x2 瓷砖。 如果我在 cell(i,j) 处垂直放置瓷砖，那么我必须打印 1 (i,j) 否则打印 2 (i,j)强>。请看下面的例子：

......
..#..#
##.#..             # -> blocked cells
##.##.             . -> empty cells
.####.

上述矩阵的解决方案是：

2 (0,0) 
2 (0,2)
2 (0,4)
2 (1,0)
2 (1,3)
1 (2,2)
2 (2,4)
1 (3,5)

最终矩阵：

######
######         (only one cell left empty)
######             
######             
.#####

我尝试使用 BFS 解决，但它给了我时间限制，我可以使用什么其他方法来最佳地解决这个问题。

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Answer 1

您可以在 O(N) 时间和空间内使用蛮力和动态编程的组合来解决这个问题。

为了解释这一点，我将把强加于 5 个单元格的列上的规则表示为二进制数 b（例如 10011），其中 >"1" 表示我将水平图块的左侧部分放在该单元格上，"0" 表示我没有。

现在，您可以定义一个大小为 (N+1)*32 的 DP 表，如下所示：

• DP[i][b] 是如果列号 i 遵守所表示的规则，则前 i 列中空单元格的最小可能数量b。如果在此列上无法遵守规则 b（因为输入矩阵中的障碍物，或者因为我们位于矩阵的最后一列，因此无法放置水平图块），那么DP[i][b] = 无穷大。

作为基本情况，您有 DP[0][0] = 0 和 DP[0][b] = infinity 因为我无法使用0 列。

然后为 i>0 计算 DP[i][b]，对于列 i 上的每个规则 b' -1 与列 i 上的规则 b 兼容，您计算以下内容：

• DP[i-1][b'] + 如果您遵守规则 b 和 列 i 上的空单元格数b' 然后在 i 列上放置尽可能多的垂直图块。

并将 DP[i][b] 设置为所有此类计算数字中的最小值。 （当然，如果 i 列上的规则 b 与输入矩阵中的障碍物不兼容，则只需设置 DP[i][b]是无穷大）。

一旦你计算了所有这些值（按 i 的递增顺序），你的答案将是 DP[n][0]（因为你不能放任何最后一列的水平图块）。