【发布时间】：2009-05-17 17:20:00
【问题描述】：
我现在使用problem 245，但遇到了一些问题。我已经做了一些工作，但我觉得我没有采取任何真正的步骤来解决它。到目前为止，这是我所得到的：
我们需要找到 n=ab 和 a 和 b 正整数。我们也可以假设 gcd(a, b) = 1 而不会失去一般性，因此 phi(n) = phi(ab) = phi(a)phi(b)。
我们正在努力解决：
因此：
此时，我认为实际查看这些数字的分布情况是个好主意。我破解了一个蛮力程序，我用它来找到所有（复合）解决方案，最多 104：
15, 85, 255, 259, 391, 589, 1111, 3193, 4171, 4369, 12361, 17473, 21845, 25429, 28243, 47989, 52537, 65535, 65641, 68377, 83767, 91759
重要的是，won't be too many 似乎小于问题要求的 1011 限制。我发现的最有趣/最有用的一点是，即使 n 的值很大，k 也非常小。实际上最大的k只有138。（另外，似乎k总是偶数。）
考虑到这一点，我猜想可以考虑 k 的每个值，并找出 n 与 k 的值对应的值。
回到原来的方程，注意可以改写为：
因为我们知道k：
这就是我所知道的；我仍在追求我的一些路线，但我想知道我是否错过了重点！通过蛮力方法，我发现总和高达 108，即 5699973227（n 只有 237 个解决方案）。
我几乎没有想法；谁能给出一些提示？
更新：很多人已经完成了很多工作，我们一起能够证明几件事。这是一个列表：
n 总是奇数，k 总是偶数。 k 5.5。 n 必须是无平方的。
我已经找到了当 n=pq（2 个素因数）和 p>q 时的所有解决方案。我使用了对于 2 个素数 q = k+factor(k^2-k+1) 和 p = k+[k^2-k+1]/factor(k^2-k+1) 的事实。我们还知道 2 个素数 k
对于具有 2 个以上素数的 n，n 的所有素数都大于 k。
【问题讨论】：
-
如果您不知道术语，这个欧拉问题会令人困惑；它们在 #243 中有更好的定义：projecteuler.net/index.php?section=problems&id=243.
-
我发布的链接中提供了所有相关信息。从字面上看，问题是：找到所有整数 1
-
我已经能够弄清楚一点：k must 除 n-1 （通过操作你的第一个方程得到这个，所以有一个像 (n-1 )/k 在一个全整数表达式中)，k not （必然）除 phi(n) （你的蛮力列表中的反例），并且 n 必须是奇数（因此 k 偶数）（很容易证明 (k-1)n = k phi(n) - 1；考虑这个表达式 mod 2 并记住/证明 phi(n) 对于 n > 2 总是偶数。我不知道从那里去哪里，而这就是我现在必须腾出的所有时间。
-
我认为讨论堆栈溢出不符合欧拉项目的精神；）
-
我仔细检查了我在上面发布的内容，它是正确的。您用来解决同一问题的方程式可能正确也可能不正确，我还无法检查。其他一些你可能会或可能不会觉得有用的东西：我证明了 k 和 phi(n) 是彼此的模逆，mod n。这是从 (k-1)n = k phi(n) - 1 得出的另一个结果。