具有二元变量的线性方程答案

【问题标题】：linear equations with binary variables具有二元变量的线性方程
【发布时间】：2013-12-07 22:31:54
【问题描述】：

我有这些方程，我想为它们找到一个解决方案

0<=x1+x2+x3+x4+x5+x6<=3                
0<=x7+x8<=2   
2<=x1+x2+x3+x4<=4   
2<=x3+x4+x5<=3   
2<=x6+x7+x8<=3

xi 的值为 0 或 1（xi 是二进制变量）

有什么算法可以解决这种方程和类似的方程

【问题讨论】：

【解决方案1】：

您确定您的问题不是binary integer programming？

如果你只是想用这么少的变量来解决这个不等式，暴力搜索可能会起作用....构造 2^8 8*1 向量，并验证每个向量是否满足你的不等式（你当然可以用矩阵形式写你的方程）。

如果您只想要一个解决方案....您甚至可以手动完成：10101011

但一般的解决方案并不容易。检查此post。要在多项式时间内求解二进制整数线性方程，有一个paper，您可能需要一些时间来挖掘。

编辑：来自@Ben Voigt 的更新

branch-and-bound 通常可以有效地解决（大）整数（包括二进制）和混合整数问题。当然，这个问题太小了，不值得付出代价——穷举搜索就足够了。

【讨论】：

感谢您的帮助.. 我正在寻找多项式算法来解决这个问题。
为你更新一篇文章，伪代码包含在论文中，但理解原理需要时间。
我的问题有一个特殊的形式，首先矩阵 A 是完全单模的，并且每个方程中的变量都是邻居，也许这会使问题更容易解决。
你的解不满足2
分支定界对于有效解决（大）整数（包括二进制）和混合整数问题通常很有效。当然，这个问题太小了，不值得开销——穷举搜索就足够了。（尽管列侬，你可能想要使用正确的热力，exhaustive 或 brute force 而不是 brutal）

【解决方案2】：

无论您使用哪种算法，我都会进行一些预处理以降低复杂性。二元变量之和总是>=0：

x1+x2+x3+x4+x5+x6<=3                
x7+x8<=2   
2<=x1+x2+x3+x4<=4   
2<=x3+x4+x5<=3   
2<=x6+x7+x8<=3

二进制变量的总和总是

x1+x2+x3+x4+x5+x6<=3                
2<=x1+x2+x3+x4   
2<=x3+x4+x5   
2<=x6+x7+x8

【讨论】：