在 Matlab 中将 linprog 的输出作为稀疏向量返回

Question

我在 Matlab 中使用 mu=linprog(f,A,b, Aeq, beq)，将 A,b, Aeq, beq 作为稀疏矩阵传递，因为它们很大，例如，A 具有维度 2000 x 2000

Matlab 没有给我任何内存错误，但运行线性编程需要很长时间（正如预期的那样，考虑到大尺寸）。

我注意到的一件事是，尽管我将 A,b, Aeq, beq 作为稀疏传递，但输出 mu 以非稀疏形式返回。将mu 作为稀疏向量返回是否有助于节省一些时间（和内存）？为什么linprog 不这样做？我如何修改linprog 来强制这样做？

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这是我的具体示例（您可以通过约束看到mu 的每个元素是0 或1 和mu 是稀疏的）

n_m=10;
n_w=15;
C=n_m*n_w+n_m+n_w;

%Inequalities A*mu<=b
b=sparse(C,1);
i=1:1:C;
v1=-ones(1,C);
A=sparse(i,i,v1,C,C);


%Equalities Aeq*mu=beq

row1=kron(1:1:n_m, ones(1,n_w+1)); 
temp=zeros(n_w+1, n_m);
for i=1:n_m
    temp(:,i)=(i:n_m:n_m*n_w+i).'; 
end
column1=temp(:).'; 
v1=ones(1,n_m*n_w+n_m);
Aeqmen=sparse(row1, column1, v1, n_m, C); 


row2=kron(1:1:n_w, ones(1,n_m+1)); 
temp=zeros(n_m+1,n_w);
for j=1:n_w
    temp(:,j)=[(j-1)*n_m+1:j*n_m n_m*n_w+n_m+j].';
end
column2=temp(:).'; 
v2=ones(1,n_m*n_w+n_w);
Aeqwomen=sparse(row2, column2, v2, n_w, C); 

Aeq=[Aeqmen; Aeqwomen]; 
beq=ones(n_m+n_w,1); 

%Objective function
f=-(randn(n_m*n_w+n_m+n_w,1));  %Cx1

%LP
mu= linprog(f,A,b, Aeq, beq); %Cx1

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编辑 感谢下面的一些 cmets/answers，我发现，对于我的具体示例，intlinprog 比 linprog 快得多。这可以通过运行这个例子来看到：

clear
N=100:100:500;
mu1=cell(size(N,2),1);
mu2=cell(size(N,2),1);
rng default

for n=1:size(N,2)
n_m=N(n);
n_w=N(n);
C=n_m*n_w+n_m+n_w;

%Inequalities A*mu<=b
b=zeros(C,1);
i=1:1:C;
v1=-ones(1,C);
A=sparse(i,i,v1,C,C);


%Equalities Aeq*mu=beq
row1=kron(1:1:n_m, ones(1,n_w+1)); 
temp=zeros(n_w+1, n_m);
for i=1:n_m
    temp(:,i)=(i:n_m:n_m*n_w+i).'; 
end
column1=temp(:).'; 
v1=ones(1,n_m*n_w+n_m);
Aeqmen=sparse(row1, column1, v1, n_m, C); 

row2=kron(1:1:n_w, ones(1,n_m+1)); 
temp=zeros(n_m+1,n_w);
for j=1:n_w
    temp(:,j)=[(j-1)*n_m+1:j*n_m n_m*n_w+n_m+j].';
end
column2=temp(:).'; 
v2=ones(1,n_m*n_w+n_w);
Aeqwomen=sparse(row2, column2, v2, n_w, C); 

Aeq=[Aeqmen; Aeqwomen]; 
beq=ones(n_m+n_w,1); 

%Objective function
f=-(randn(n_m*n_w+n_m+n_w,1));  %Cx1

%Intcon
intcon=1:1:C; 

tic
mu1{n}= linprog(f,A,b, Aeq, beq); %Cx1
toc
tic
mu2{n}= intlinprog(f,intcon,A,b, Aeq, beq); %Cx1
toc
end

Answer 1

具有稀疏矩阵的方程组（Ax=b 或变体）的结果不需要（在绝大多数情况下也不需要）稀疏。

例如

• 有限元方法（系统矩阵是稀疏的，但 基础物理结果一般不会）
• 大多数类型的断层扫描

Answer 2

虽然在线性规划公式中，等式和不等式约束通常是稀疏的，但这并不一定意味着得到的解是稀疏的（事实上，除非约束特别需要，否则它通常不适用于 LP )。

如果整数约束将大量输出强制为零（例如，如果您有很多决策变量被限制为

函数linprog是Matlab提供的优化包中的一个函数，所以直接修改不太可能（这可能不是一个好主意）。

您可能想要检查您的结果以找出有多少输出正好为零 - 这将告诉您是否有稀疏解决方案甚至可以解决此问题：

% Total number of entries that are nonzero
nnz(D)
% Density of the matrix relative to total number of elements
nnz(D)/prod(size(D))