找到满足条件的矩阵

Question

我希望在 MATLAB 中解决以下问题，但不知道使用哪个命令。

找到一个矩阵 B，s.t. A * B = I 和 0

其中 A 和 B 是矩阵，a 和 b 是向量。 I 是单位矩阵。

知道要使用什么吗？ fsolve 没有用，我不知道如何在 linprog 中表述这一点。

例子：

A = [1 0 -1; 0 1 1];
a = [8; 6];
b = [15; 10; 10];

使用 cvx 的解决方案：

cvx_begin
variable B(3,2)
min (B)
subject to
    A*B == diag(ones(2,1));
    0 <= B*a;
    b >= B*a;
cvx_end

Answer 1

为了解决linprog 的这些问题，您必须列出：

• 等式
• 不等式

所以我们有六个未知数：

B = [x1 x2
     x3 x4
     x5 x6]

不等式是：

和

在linprog (A*x <= b) 支持的格式中给我们：

A = [8  6  0  0  0  0
     0  0  8  6  0  0
     8  6  0  0  8  6
    -8 -6  0  0  0  0
     0  0 -8 -6  0  0
     0  0  0  0 -8 -6];

b = [15 10 10 0 0 0]

注意到为了转换<=0 中的>=0，两边都乘以-1。

等式是：

linprog(Aeq*x == beq) 支持的格式给我们：

Aeq = [1  0  0  0 -1  0
       0  1  0  0  0 -1
       0  0  1  0  1  0
       0  0  0  1  0  1]

beq = [1 0 0 1]

我们可以认为所有变量都具有相同的“权重”，我们的目标函数可以定义为f = [1 1 1 1 1 1]。但如果您更改这些权重，它也将起作用（并将提供另一种解决方案）。您可以将其视为 6D 空间的形状，其中某些维度可以被压缩或拉伸（但不能弯曲）。例如f = [1 0.25 1 1 -1 1/2] 也是一个选项...

f = [1 1 1 1 1 1] %which correspond to [x1 x2 x3 x4 x5 x6]

s = linprog(f, A,b,Aeq,beq,-10,10) %solve the problem with arbitrary lower and upper boundary.

一种可能的结果：

s = [ 10
     -12 
      9
      13 
      9 
     -12]

其中给出：

B = [10 -12
     9   13
     9   -12]

更大问题的自动化：

% B Matrix size
s1 = 3;
s2 = 2;

% Variable
A  = [1 0 -1; 0 1 1];
B  = sym('X', [s1 s2])
ax = [8; 6];
bx = [15; 10; 10];

% Convert linear equations to matrix form
[Aeq,beq] = equationsToMatrix(A*B == eye(s2))
[A1,b1]   = equationsToMatrix(B*ax == bx)
[A2,b2]   = equationsToMatrix(-B*ax == 0)

% Solve the problem
%      (      f      ,          A            ,            b           ,       Aeq  ,      beq  ,  lb,ub)
linprog(ones(s1*s2,1),[double(A1);double(A2)], [double(b1);double(b2)], double(Aeq),double(beq), -10,10)

Answer 2

您可能会遇到两种不同的情况：

• 有你的等式约束

  A*B=I

我认为您已经能够使用矩阵的Moore-Penrose inverse 求解B，即pinv（在MATLAB 中）或ginv（在R 中）：

B = pinv(A);

或

B <- ginv(A)

由于摩尔-彭罗斯逆的唯一性，需要验证解出的B的条件

0

• 如果使用上述方法违反了不等式约束，则可以尝试以下方法（在 MATLAB 中加载 CVX 或在 R 中加载 CVXR）：

不幸的是，我的计算机中没有 MATLAB，但我尝试使用 CVXR 和 R 语言，效果很好。也许您需要对 MATLAB 版本进行细微的语法调整或翻译。

这里有一个例子来告诉你如何表述这个问题：

# given matrices
A <- matrix(c(1,0,-1,0,1,1),nrow = 2,byrow = TRUE)
a <- matrix(c(8,6))
b <- matrix(c(15,10,10))

# formulate optimization problem and solve it
library(CVXR)
B <- Variable(3,2)
obj <- Minimize(norm(A%*%B - diag(c(1,1)),"2"))
cons <- list(B%*%a >= 0, b>=B%*%a )
problem <- Problem(obj,cons)
res <- solve(problem)

这样

> res$getValue(B)
            [,1]      [,2]
[1,]  0.90183254 0.6467117
[2,]  0.09816746 0.3532883
[3,] -0.09816746 0.6467117