资源分配-匹配答案

【问题标题】：Resource allocation- Matching资源分配-匹配
【发布时间】：2013-01-22 16:11:56
【问题描述】：

我有一个问题，我不确定是否可以通过线性规划解决。本质上，有两组人列出了他们对彼此的偏好，随后将进行匹配。我正在为此编写一个算法。 A组从B组中最多有4个选择，反之亦然。

在制定解决方案时，我目前正在为每个配对组合分配一个成本。例如，如果来自 A 组的人 1 将来自 B 组的人 3 列为他/她的第一选择，反之亦然，那么成本是最小的（对 1-3 成本：0.01）。同样，我会为其他配对分配一个成本，设计一个目标函数，以寻求使总成本最小化的配对。

但是，我不认为这是可行的，因为我不知道如何定义我的约束和总体目标函数。在线阅读和阅读教科书，我发现资源分配问题与我正在尝试做的事情不同。

我可以就如何进行寻求您的建议吗？

【问题讨论】：

这看起来更像是 二部图中的最大权重匹配，而不是 线性规划 或其任何变体。我不会说你不能用线性规划解决问题，但另一种方法可能更容易开始。
闻起来像Stable Marriage Problem。
是的，与稳定婚姻问题（SMP）有相似之处，但这个问题比这更普遍。 SMP 解决方案显示了某个属性（一对没有相互更高的首选匹配），但 OP 的问题更普遍，所需的总成本最低。
我发现稳定的婚姻问题很好，因为稳定的一对的定义。此外，实施它避免了以下 LP 解决方案中概述的配对开发成本的麻烦（我已经在评论部分解释了原因）。谢谢！

【解决方案1】：

您的问题可以表述为“Assignment Problem”。作为典型案例，分配问题是将“工作”分配给“机器”。它们可以很容易地用于匹配两组。

这是公式：两组人A和B

决策变量Xij

如果人 i（集合 A 中的第 i 个人）与集合 B 中的第 j 个人匹配，则令 Xij 为 1； 0 否则

参数：设Cij 为将i 与j 配对的成本

目标函数：最小化（对 i 求和）（对 j 求和）Cij * Xij

约束：

每个人都只配对一次

Sum over j Xij = 1 (for each i)

每个人 j 只配对一次

Sum over i Xij = 1 (for each j)

Xij 是二进制变量

Xij = (0,1)

关于分配问题的巧妙之处在于，可以使用相当容易理解的'Hungarian Method.' 找到最佳配对。您还可以使用您可以使用的 LP/IP 求解器。

希望对您有所帮助。

【讨论】：

我喜欢这个解决方案，但是将成本分配给配对的问题引入了主观性。如何客观地确定人 i 对人 j 的偏好？会有各种因素需要考虑。当我们探索时，这变得更加复杂，例如，人 i 的 4 选择/人 z 的第三选择（即 4-3 对）..与 2-3 对等相比如何。这是我面临的主要障碍采用LP解决方案。感谢您的详细解释！