如何找到数组中非递减子序列的数量？答案

【问题标题】：How can I find the number of non-decreasing subsequences in an array?如何找到数组中非递减子序列的数量？
【发布时间】：2015-10-02 14:30:16
【问题描述】：

给定一个正整数数组，我想找出数组中非递减子序列的数量。

例如，如果数组是 {6,7,8,4,5,6}，则非递减子序列将是 {6},{7},{8},{4},{5},{6},{6,7},{7,8},{4,5},{5,6},{6,7,8},{4,5,6}，所以这是 12 个这样的序列

【问题讨论】：

标签： arrays algorithm subsequence

【解决方案1】：

这是一种算法，它将列出数字序列中的每个上升子序列：

Set a pointer to the first item, to remember where the rising sequence starts.
Iterate over every item in the array, and for each item:  
    If the current item is not greater than the previous item:  
        Set the pointer to the current item.
    For every n = 1, 2, 3... :
        Save the last n items as a sequence until you reach the pointer.

使用您的示例输入 [6,7,8,4,5,6] 运行该算法将是：

第 1 步：开始 = 6，当前 = 6，存储 [6]
第 2 步：开始 = 6，当前 = 7，comp 7>6 = true，存储 [7]，[6,7]
第 3 步：开始=6，当前=8，补偿 8>7=true，存储 [8]、[7,8]、[6,7,8]
第 4 步：start=6，current=4，comp 4>8=false，将 start 设置为当前项目，存储 [4]
第 5 步：开始 = 4，当前 = 5，comp 5>4 = true，存储 [5]，[4,5]
第 6 步：开始=4，当前=6，comp 6>5=true，存储 [6]、[5,6]、[4,5,6]

结果：[6]、[7]、[6,7]、[8]、[7,8]、[6,7,8]、[4]、[5]、[4,5] , [6], [5,6], [4,5,6]

例如在 javascript 中：（注意：slice() 函数用于创建数组的硬拷贝）

function rising(array) {
    var sequences = [], start = 0;
    for (var current = 0; current < array.length; current++) {
        var seq = [], from = current;
        if (array[current] < array[current - 1]) start = current;
        while (from >= start) {
            seq.unshift(array[from--]);
            sequences.push(seq.slice());
        }
    }
    return sequences;
}

var a = rising([6,7,8,4,5,6]);
document.write(JSON.stringify(a));

如果您希望按照您在问题中写入的顺序获得结果：[6],[7],[8],[4],[5],[6],[6,7],[7,8],[4,5],[5,6],[4,5,6],[6,7,8]，然后将sequences 制作为二维数组并将每个序列seq 存储在sequences[seq.length] 中。

【讨论】：

【解决方案2】：

您可以使用类似于well-known quadratic solution for the longest increasing subsequence 的动态编程方法。

让a[i] 成为您的输入数组。设c[i] 为以a[i] 结尾的非递减子序列的数量。您可以通过查看此类子序列中a[i] 之前的数字来轻松计算c[i]。它可以是在a[i] 之前的任何数字a[j]（即j<i）和不大于（a[j]<=a[i]）。不要忘记单元素子序列{a[i]}。这导致以下伪代码：

c[0] = 1
for i = 1..n-1
    c[i] = 1 // the one-element subsequence
    for j = 0..i-1 
        if a[j]<=a[i]
            c[i] += c[j]

另见Number of all longest increasing subsequences。它只查找最长的序列，但我想它也可以修改为计算所有此类序列。

【讨论】：