如何在 O(sqrt(N)) 时间复杂度中解决“X^2 - Y 是完美平方，X, Y ≤ N”？ [关闭]

Question

给定 N。求所有整数对 x,y 的个数，使得

1<=x, y<=N
and x^2 - y is a perfect square

N 很大，但 O(sqrt(N)) 可以解决这个问题。

我试图解决这个问题，比如让 z^2 成为平方数

x^2 - z^2 = y = (x+z)(x-z)
then let x + z = p and x - z = q;
then x = (p+q)/2 and z = (p-q)/2;
and (p+q)/2<=N;
and p and q should have same parity (both even or odd as (p+q)/2 is integer)
also pq<=N

现在我不知道如何从这里开始 或者告诉我一些其他有效解决这个问题的方法。

Answer 1

这个解决方案解决了 O(sqrt N) 中的问题。

重新表述问题

令 z^2 = x^2 - y, z ≥ 0，或等价于 0

我们需要N^2下的完全平方对，它们的差小于或等于N。通过算术级数，

1 + 3 + 5 + 7 + ... + (2k - 1) = k^2

这意味着 x^2 - z^2 是一些 n 个连续奇数的和。

计算奇数

z^2 + (2z + 1) + (2z + 3) + ... + (2x - 1) = x^2。应用算术级数公式

z^2 + n/2 * (4z + 2 + 2(n - 1)) = x^2

z^2 + n * (2z + n) = x^2

n(2z + n) ≤ N

z ≤ floor((N/n - n)/2)

因此，我们能够找到 z 的最后一个值，其中至少需要 n+1 个奇数连续整数才能使它们的总和超过 N。

对于每个 z，x 可以是 z+1, z+2 ... z+n，总共 n 对。

#include <cmath>
#include <iostream>
int N = 99; 
int main(void){
    int z = -1;
    // z = 0 is valid for x^2 < N, so -1 is largest invalid z.
    int count = 0;
    for (int n = std::sqrt(N); n > 0; n--){
        int zNew = (N/n - n)/2;
        // zNew is max z that has n perfect squares from z + 1 to z + n
        count += (zNew - z) * n;
        z = zNew;
    }
    std::cout << count << '\n';
}

Java 版本通过了这些单元测试。

(N, count) = (1, 1), (3, 2), (5, 4), (8, 6), (60, 68), (99, 124), (500, 808)