包含给定数字的数字有多少？答案

【问题标题】：How many numbers are there that include a given digit?包含给定数字的数字有多少？
【发布时间】：2017-11-13 16:53:35
【问题描述】：

让我们有 3 位数字 (100-999)。至少有多少位数字为“2”的数字？

如何为此制定算法？还是数学函数？

【问题讨论】：

标签： algorithm math combinations

【解决方案1】：

包含-排除原则

有多少个 3 位数字以 2 作为第一位数字 (2xx)？没错-100。而作为第二个数字（x2x）？ 100！而作为第三个 (xx2) - 相同的数字。好的，现在我们有了 300 数字，但是我们忘记了 22x 形式的数字，我们计算了两次。现在我们需要减去22x、2x2 和x22 的数量。现在我们有270，但是我们忘记了数字222，我们加了3次，减了3次，我们需要再次添加：271。这个解释是inclusion-exclusion principle的一个例子。

但这还没有结束，我们需要减去所有以2 为数字的0xx 数字。类似的方法：271 - 10 - 10 + 1 = 252。

动态编程

好的，如果你不喜欢前面的方法，还有另一种方法。让我们计算函数F(i, has2)，其中i - 是数字的位数长度，has2 布尔值，如果位数包含2，则等于true，否则等于false。递归关系如下：

 F(1, false) = 8, F(1, true) = 1
 F(i, true) = F(i-1, true) * 10 + F(i-1, false) 
 F(i, false) = F(i-1, false) * 9

答案是F(3, true)。

 F(2, true) = 10 + 8 = 18
 F(2, false) = 8 * 9 = 72
 F(3, true) = 18 * 10 + 72 = 252

【讨论】：

是的，这个方法我也用过，但它的工作有点漫长而艰苦，数学上不正确，编程上也不可能
这也是我的 pyhthon 给我的结果 :) 编写解决方案所需的精力比你投入的要少。程序员很懒 ;o) +1
@D3admau5 在一般情况下，第一种方法可以非常简单地使用二项式系数进行编程

【解决方案2】：

python 的一个快速的'n'dirty 是：

n  = [x for x in range(100,999) if '2' in str(x)] 

print("There are " + str(len(n)) + " numbers between 100 and 999 containing at least one '2'")
print(n)

将其放入https://pyfiddle.io/ 进行测试。

【讨论】：

谢谢，我总是在使用之前检查并尝试理解代码。我不是copypaster :) 顺便说一句，这在编程语言中看起来很容易，但我仍然找不到在数学上这么简单的方法。
@D3admau5 此答案中的 Python 代码是 brute force 解决方案的示例。每当问题是，“有多少……？”蛮力方法是全部生成并计算它们。这可能是回答某些问题的最快方法，但对于其他问题...需要找到解析解。
@D3admau5 它的代码很简单，因为主要工作（思考和优化）是由其他人花费在构建语言的部分上。 range(a,b)lazy 枚举所有数字，str(x) 从每个数字中生成一个字符串，'in' 检查字符串内的 ''2''，所有这些都会产生您想要的结果。 - 正如我在问题中评论的那样，这是一种蛮力方法。全部检查并整理出来。