嵌套循环的运行时表达式答案

【问题标题】：Expression for Runtime of a nested loop嵌套循环的运行时表达式
【发布时间】：2013-01-17 01:31:39
【问题描述】：

for i <- 1 to n 
  for j <- i to n
    for k <- i to j

第二个循环的运行时间的数学表达式是什么？

是n = n^2的j = 1到n之和吗？

由于它同时依赖于 i 和 n，你如何推导出它？

【问题讨论】：

【解决方案1】：

让我们以两种方式解决这个问题：

1。解决方案

如果您需要计算第二个循环运行时函数，则必须将其表示为 n 和 i 的函数。因此，您将修复i，因为它作为常量进入第二个循环，并且您不会在第二个或第三个循环的任何地方更改它的值。如果您想了解为什么第二个循环运行时间取决于i 和n，您可以以等效形式编写您的算法：

for i <- 1 to n 
   doSomething(i,n)


  doSomething(i,n):
    for j <- i to n
     for k <- i  to j
       doStuffHere() //

当j=i，doStuff() 只执行一次，因为j=i 和k=j=i，所以循环在仅仅1 次迭代后就停止了。

当j=i+1、doStuff()被执行2次等时

你可以推导出一个规则，对于j的任意值，doStuff()被执行(j-i+1)次，即j=i时执行1次，j=i+1时执行2次，j=i+3时执行3次， ...，当 j=i 时，n-i+1 次。这意味着运行时间函数是：

f(n,i) = 1+2+3+...+(n-i+1) = (n-i+1)*(n-i+1+1)/2 =
       = (n-i+1)(n-i+2)/2

稍后，当你尝试推导整个算法的复杂度函数时，你会看到对于从 1 到 n 的每一个 i，你都有 f(n,i)doStuff()，所以整个算法就会运行时间：

RT(n) = f(1,n) + f(2,n) + f(3,n) + .. + f(n,n)

您必须在此处进行一些数学运算并使用公式计算级数总和。但是，还有另一种方法，更优雅，但可能难以理解。

很明显，对于算法中的每个 j 和 k：

【讨论】：