此伪代码的运行时答案

【问题标题】：Runtime of this pseudocode此伪代码的运行时
【发布时间】：2011-11-03 01:38:58
【问题描述】：

谁能帮我分析一下下面伪代码的运行时间

for(i = 0; i < n*n*n; i++)
    for(j = i; j < n; j++)
        x++

我看到它的下界是 omega(n^3)，因为如果外部 for 循环内部只是 theta(1)，那就是它的样子。

我对仅在外循环的前 n 次迭代中运行的内循环感到困惑。我是否只是平均内部循环的运行时间：n^3 * ((1/n^2)*n + (1/n)*1，在这种情况下它是 O(n^3)？

【问题讨论】：

【解决方案1】：

取决于你的编译器有多聪明。算法可以分为两部分（这可能有一个错误，但你明白了）

// i<n
// O(n^2)
for( i=0; i<n ; ++i )
  for( j=i; j<n; ++j )
    x++

// n < i < n*n*n
// O(n^3)
for( i=n ; i<n*n*n; ++j)
  noop(); //do nothing

对于i > n，第二部分什么都不做，所以智能编译器只会将 i 循环到 n，在这种情况下，它是 O(n^2)。

但是，如果您的编译器不智能，后半部分也会执行，您只会得到 O(1) 比较，因此整体行为是 O(n^3)。

【讨论】：

【解决方案2】：

只有在i<n 时才会执行内部循环。所以是O(n^2)。

【讨论】：

【解决方案3】：

你的算法应该像下面这样剖析：

for(i = 0; i < n*n*n; i++) {
    for(j = i; j < n; j++) {
        x++
    }
    if (i >= n) {
        y ++;
    }
}

x 计算内循环和外循环的次数，y 将计算内循环不再执行时外循环的迭代次数。

因此，您可以像下面这样正式进行：

n = 10时，结果为：x = 55，y = 990，与上面的公式兼容。

【讨论】：