河内塔的复杂性？答案

【问题标题】：Complexity for towers of Hanoi?河内塔的复杂性？
【发布时间】：2012-09-12 07:21:03
【问题描述】：

我最近在解决河内塔问题。我使用“分而治之”的策略来解决这个问题。我将主要问题分成三个较小的子问题，从而产生了以下递归。

T(n)=2T(n-1)+1

解决这个问题会导致

O(2^n) [指数时间]

然后我尝试使用记忆技术来解决它，但是这里的空间复杂度也是指数级的，堆空间很快就会耗尽，对于更大的 n 问题仍然无法解决。

有没有办法在不到指数的时间内解决问题？解决问题的最佳时间是什么时候？

【问题讨论】：

您所说的“河内塔”问题是什么意思？您的意思是确定 k 次移动后的状态，还是确定进入状态 X 需要多少次移动？
@MikeT 使用辅助（额外）peg 将 n 个磁盘从 src peg 移动到目标 peg 需要多少次移动，前提是您一次只能移动单个磁盘并且不能更大在运动过程中，圆盘可以放在更小的圆盘上。
(2^n)-1，恒定时间解。好吧，就 2^n 而言，“恒定”是恒定的，我认为实际上是 O(log(n))
@MikeT 加上将其转换为通常的 base-10 表示法 (cs.stackexchange.com/questions/21736/…) 以进行输出所需的时间。除非您从一开始就在正确的基础上计算算术运算。

标签： algorithm complexity-theory

【解决方案1】：

这取决于您所说的“解决”是什么意思。 3个钉子和n圆盘的河内塔问题需要2**n - 1移动来解决，所以如果你想枚举移动，你显然不能比O(2**n)做得更好，因为枚举k事物是@987654325 @。

另一方面，如果您只想知道所需的移动次数（不枚举它们），计算2**n - 1 是一个更快的操作。

另外值得注意的是，移动的枚举可以迭代完成，O(n)空间复杂度如下（disk1是最小的磁盘）：

while true:
    if n is even:
        move disk1 one peg left (first peg wraps around to last peg)
    else:
        move disk1 one peg right (last peg wraps around to first peg)

    if done:
        break
    else:
        make the only legal move not involving disk1

【讨论】：

【解决方案2】：

你可以解决递归并获得一个封闭的形式。

T(n) = 2*T(n-1) + 1

T(n) = 2 * ( 2 * T(n-2) + 1) + 1

T(n) = (2 ^ 2) * T(n-2) + 2^1 + 2^0

T(n) = (2^k) * T(n-k) + 2^(k-1) + 2^(k-2) + ... + 2^0

解决这个封闭的结果是

T(n) = (2^n) - 1 与 T(0) = 0

现在使用平方取幂。

【讨论】：

我也知道这个复发怎么解决。我的问题是这个谜题能否在不到指数级的时间内解决。
不，如果不改变游戏的参数，它无法在小于指数的时间内解决。

【解决方案3】：

不幸的是，不可能在更短的时间内解决这个问题，因为改变所有河内塔的位置所需的移动次数是指数级的。所以根据步数O(T)，最好的解是线性的，所以尾数解是指数O(2^n)

【讨论】：

【解决方案4】：

正好有 2^n-1 个动作，所以要列出它们，我们不能做得比 O(2^n) 时间复杂度更好。

可以在 O(1) （好吧，如果你取任意大小的整数，则为 O(log n)）空间中枚举必要的移动：

(define (fbs n i) (if (even? n) (fbs (/ n 2) (+ i 1)) i))

(define (fb n) (fbs n 1))

(define (hanois n i m) 
  (
    cond 
    ((= i m) "DONE")
    (else 
          (define k (fb i))
          (print "move disk " k " " (if (even? (+ n k)) "left" "right"))
          (hanois n (+ 1 i) m))))

(define (hanoi n) (hanois n 1 (expt 2 n)))

[方案]

请注意，由于算术，此算法有 log n 的开销（算法fb 查找最低有效设置位的位置）。任何涉及计数器递增/递减的简单解决方案都将具有相同的开销。

【讨论】：

【解决方案5】：

这在一定程度上取决于您接受哪种表示形式。想象一下以下表示：

OneMove
    from : integral
    to   : integral

Solution
    step_one   : optional reference to Solution
    step_two   : OneMove
    step_three : optional reference to Solution

这样的表示实际上可以以线性复杂度创建，因为有很多重复。

我刚试过，为高度 64 构建这样的解决方案花了不到一毫秒。当然，通过它仍然需要 2ⁿ-1 步。

您没有指定语言，但如果您想要 C++ 中的代码，请添加一行。

【讨论】：