如何使用链表实现O(M^2N)中两个多项式的乘法？答案

【问题标题】：How to use linked list to implement the multiplication of two polynomial in O(M^2N)?如何使用链表实现O(M^2N)中两个多项式的乘法？
【发布时间】：2015-03-21 06:12:22
【问题描述】：

这是“C 中的数据结构和算法分析”练习 3.7 中的练习。假设在链表中实现了两个多项式。一个有 M 项。另一个有 N 项。练习要求我在 O(M^2N) 中实现两个多项式的乘法（假设 M 是较小的那个）。如何解决？

【问题讨论】：

最好能展示你目前写的代码并提出具体问题。
不，我指的是（M 的平方）乘以 N。
程序太长，无法粘贴到这里。但到目前为止，我编写了一个具有 O(MNlog(MN)) 时间复杂度的乘法函数。这个想法是首先使用多项式 A 的每一项乘以多项式 B 的每一项，然后我将得到 MN 个新项。然后根据项的指数以不递减的顺序对这 MN 个项进行排序。我使用的排序算法是归并排序。然后最后检查所有已排序的项以将具有相同指数的项组合起来。
对不起，我忘记了问题的一项要求。乘法的答案必须按项的指数降序排序。

标签： c algorithm list linked-list polynomial-math

【解决方案1】：

我可以告诉你。

假设多项式是 1+x+x^3 和 1+x^2。

使用(1,1)--->(1,1)--->(1,3)创建一个链表P

创建另一个链表Q (1,1)--->(1,2) 其中(a,b)表示x^b的系数。

现在对于 P 中的每个节点，将其与 Q 的每个节点相乘。

怎么样？我们将创建一个节点 res，其中 (x,y)

x= P->coeff * Q->coeff.

还有y=P->exp+Q->exp。

将此新节点添加到将包含答案的多项式。

在插入answer 多项式期间，您必须记住两件事-

i) 保留一个排序列表（根据 exp 排序）（增加可能因为我在这里增加了 - 你也可以减少）。

ii) 在添加新节点的情况下获取正确的位置，如果存在具有相同 exp 值的节点，则仅添加系数并删除您将要插入的节点。

好的！现在打印多项式。

复杂性分析。

【讨论】：

感谢您的回答。我对你的方法有疑问。如何保证算法的复杂度为 O(M^2 * N)？

【解决方案2】：

你可以找到我的多项式乘法实现here，它从以下格式的文件中读取多项式：假设 2X^5 + 3x^3 + 5X 是一个多项式表达式，其链表表示如下： | 2 | 5 | -|---> | 3 | 4 | -|---> | 5 | 1 |空|

关于时间复杂度，我通过将第一个多项式的每个项乘以第二个多项式的每个项，然后将共同项（即具有相同的次数）加在一起来执行乘法。如果第一个多项式大小为 N，第二个多项式大小为 M，则通过将它们逐项相乘，我们得到 N*M 的复杂度。请注意，输出多项式的大小最多为 N+M（在将常用项相加之后，因此如果您假设 M>N，并且在项乘法的每一步中，您将向包含相同程度（如果存在，则添加新单元格），您可以获得所需的复杂性。

【讨论】：

感谢您的回答！！但我仍然怀疑你算法的时间复杂度。我认为你的复杂度是 O((N+M)*MN)。问题要求复杂度应为 O(MMN)，M 是 M 和 N 之间较小的那个。

【解决方案3】：

假设 M

将 M 项的多项式中的每个项乘以整个 N 项的多项式。每一步你都会得到一个带有 N 项的临时结果多项式，然后将结果多项式与这个临时多项式联合，这在最后一步导致 O(MN+N)。

提醒有 O(MN) 次乘法。
联合操作总共需要 O((N+N)+(2N+N)+(3N+N)+...+(MN+N))=O(M^2N)。

所以总体复杂度为 O(MN)+O(M^2N) = O(M^2N)

【讨论】：

另外，MN乘法后可以使用哈希表对两个多项式求并，其整体复杂度可以为O(MN)。