如何找到没有“暗示”或“或”的逻辑等效公式？答案

【问题标题】：How can I find a logically equivalent formula without "implication" or "or"s?如何找到没有“暗示”或“或”的逻辑等效公式？
【发布时间】：2017-08-29 03:22:00
【问题描述】：

所以我正在努力完成我的离散数学作业，但我完全不知道应该如何解决这个问题。我的老师希望我为 p v q 找到一个逻辑上等价的方程，它不包括异或、隐含或包含或（也就是她希望我只使用否定和与）。我不想要任何答案，因为我需要自己做作业。但请任何示例或帮助将不胜感激。我觉得好像有一种简单的方法可以做到这一点。

【问题讨论】：

你手边有身份表吗？ p → q 和 p ∨ q 都应该有一个条目。
是的，我把它变成了p蕴含q的否定，然后我使用了蕴涵，它又把它变成了原来的：p v q。我不确定我哪里出错了，或者我应该做些什么不同的事情来停止回到原来的问题。
使用涉及 p ∨ q 的不同恒等式。 spoiler

标签： discrete-mathematics

【解决方案1】：

仅使用 NOT 和 AND，您可以创建 NAND gate。想想补语如何关联 AND 和 OR，并在您看到下面的重要提示之前尝试自己解决它。

使用德摩根定律将 NAND 与 OR 联系起来。

此外，与非门是universal gate，这意味着原则上任何逻辑功能都可以通过与非门来实现。自己试试看，是否可以仅用 NAND 模拟所有其他门。

如果你真的想要答案，就在下面。

p OR q 等价于 (NOT p) NAND (NOT q)

【讨论】：

【解决方案2】：

这是 p V q 的真值表：

p    q    p V q
T    T    T
T    F    T
F    T    T
F    F    F

我们需要找到一个等效表达式，它给出相同的最后一列 (T, T, T, F)，但只使用 not 和 and。

您可以开始枚举所有可能的公式，直到找到一个。该公式应仅使用 p 和 q 而不是 and and。

p    q    p and q
T    T    T
T    F    F
F    T    F
F    F    F

我们首先要注意的是，and 的真值表给出了三个 F，而我们的真值表需要三个 T。我们可以使用否定将 Ts 转换为 Fs，反之亦然，所以也许我们猜到了。

p    q    not(p and q)
T    T    F
T    F    T
F    T    T
F    F    T

这看起来很接近，除了我们需要 T、T、T、F 并且我们有 F、T、T、T。我们可能会注意到这种模式是完全倒退的，并且由于变量是按真值排序的，我们可能猜测交换真值会起作用。为了交换真值，我们再次使用否定：

p    q    not(not p and not q)
T    T    T
T    F    T
F    T    T
F    F    F

我们找到了我们想要的。现在，我知道答案是什么，但即使我不知道，我们最终也会通过按顺序列出合理的逻辑公式来到达这里。我们知道：

两个符号都必须出现
只有“and”才能同时出现两个符号
唯一允许的其他符号不是
不是 x = x;所以我们不需要重复

我们可以盲目地开始写真值表的公式是：

p 和 q
（不是 p）和 q
p 和（不是 q）
不是（p 和 q）
非（p）和非（q）
not(not(p) and q)
not(p and (not q))
not((not p) and (not q))

在这一点上，除了上述四点之外，我们本可以在没有任何见解的情况下找到答案。

【讨论】：

【解决方案3】：

让我们想想p v q这句话是什么意思。

当然，p 和 q 是两个命题 - 简单的句子是真或假。

句子p v q 只是说'p 是真的和/或q 是真的'。基本上，当两个命题中的至少一个为真时，p v q 为真。

所以反问自己：那句话什么时候是假的？为什么，当它们都不是真的时！我们将如何表达这一点？ not p and not q

这等于说not (p or q) 和not p and not q 是等价的句子。

这意味着not not (p or q) 和not(not p and not q) 是等价的。

现在，根据双重否定定律，我们知道两个否定抵消了。

所以我们有p or q 和not(not p and not q) 是等价的句子。

这就是您要寻找的答案。

【讨论】：