为什么这个算法来判断是整除还是不行？答案

【问题标题】：Why this algorithm to determine is divisible or not work?为什么这个算法来判断是整除还是不行？
【发布时间】：2020-10-07 01:34:00
【问题描述】：

static inline bool is_divisible(uint32_t n, uint64_t M) {
    return n * M <= M - 1;
}

static uint64_t M3 = UINT64_C(0xFFFFFFFFFFFFFFFF) / 3 + 1;
....
uint8_t div3 = is_divisible(17, M3);

正如标题中提到的，这个函数可以判断n是否能被3整除。我唯一知道的是M 与ceil((1<<64)/d) 相同，d 是 3。

有没有人打电话解释为什么is_divisible 工作？谢谢！

【问题讨论】：

这似乎依赖于整数溢出。我看不出这比使用简单的模运算符更好。
@paddy 除法运算对处理器来说代价高昂。乘法更便宜。 M3 也可以在运行前被删除。
@Steven 是的，但是如果你把函数改成return n % 3 == 0;，优化器无论如何都会把除法转换成乘法，所以不需要这段代码。
提示：找出 2*M3 和 3*M3 是什么。然后将您的号码写为n=3*x+y，其中y 是0、1 或2。使用算术属性，确定n*M3 可能是什么，以及何时小于M3-1。
确实使用这些优化通常hinders the good compilers from generating effective code。只需使用M3 % 17 并让编译器计算出来

标签： c math

【解决方案1】：

将n除以3得到商q和余数r，让我们将n表示为n = 3q + r，其中 0 ≤ r

直观地说，3q + r 乘以 (2⁶⁴−1)/3 + 1 会导致 q em> 部分消失，因为它包含模 2⁶⁴，剩余部分位于 [0, 2⁶⁴) 的三个段之一中，具体取决于 ⁶⁴) 的值em>r。与M3的比较判断是否在第一段，即r为零。证明如下。

请注意，M3 为 (2⁶⁴−1)/3 + 1。

然后n•M3 = (3q + r)•((2⁶⁴-1)/3 + 1) = q•(2⁶⁴-1)+3q+r •((2⁶⁴−1)/3 + 1) = q•2⁶⁴+2q+r•((2⁶⁴-1)/3 + 1).

当使用 uint64_t 算术计算时，q•2⁶⁴ 项会由于模 2⁶⁴ 包装而消失，因此计算结果是 2q+r•((2⁶⁴-1)/3 + 1)。

假设 n 是 3 的倍数。那么 r = 0。由于 n 是 uint32_t 值，q 32，所以 2q+r•((2⁶⁴-1)/ 3 + 1) = 2q 33 M3.

假设 n 不是 3 的倍数。那么 r = 1 或 r = 2。如果 r = 1, r•((2⁶⁴-1)/3 + 1) = (2⁶⁴-1)/3 + 1 > M3-1。当然，如果 r = 2，r•((2⁶⁴−1)/3 + 1) 甚至更大，而且超过M3-1。但是，我们需要关注 uint64_t 算术的包装。同样，由于 q 32，我们有，对于 r = 2, 2q+ r•((2⁶⁴−1)/3 + 1) 32 + 2•((2⁶⁴−1)/3 + 1) = 2³³ + 2/3•2⁶⁴ - 2/3 + 2 = 2⁶⁴ - 1/3•2⁶⁴ + 2³³ + 4/3，明显小于2⁶⁴，所以不会发生换行。

【讨论】：