我应该对重复的浮点数使用乘法还是除法？答案

【问题标题】：Should I use multiplication or division for recurring floats?我应该对重复的浮点数使用乘法还是除法？
【发布时间】：2016-02-28 23:55:24
【问题描述】：

众所周知，除法比乘法需要更多的时钟周期来计算。（参考这里的讨论：Floating point division vs floating point multiplication。）

我已经在我的 C++ 代码中使用 x * 0.5 代替 x / 2 和 x * 0.125 代替 x / 8，但我想知道我应该走多远。

对于反转时重复出现的小数（即1 / num 是重复出现的小数），我使用除法而不是乘法（例如x / 2.2 而不是x * 0.45454545454）。

我的问题是：在迭代次数相当多的循环中，我是否应该将除数替换为它们的重复乘法对应项（即x * 0.45454545454 而不是x / 2.2），还是这样带来更大的精度损失？

编辑：我做了一些分析，我在 Visual Studio 中开启了全面优化，使用 Windows QueryPerformanceCounter() 函数来获取分析结果。

int main() {
    init();
    int x;
    float value = 100002030.0;
    start();
    for (x = 0; x < 100000000; x++)
        value /= 2.2;
    printf("Div: %fms, value: %f", getElapsedMilliseconds(), value);
    value = 100002030.0;
    restart();
    for (x = 0; x < 100000000; x++)
        value *= 0.45454545454;
    printf("\nMult: %fms, value: %f", getElapsedMilliseconds(), value);
    scanf_s("");
}

结果为：Div：426.907185ms，值：0.000000 乘法：289.616415ms，值：0.000000

除法所用的时间几乎是乘法的两倍，即使经过优化也是如此。性能优势是有保证的，但会降低精度吗？

【问题讨论】：

如果这是代码中的瓶颈，我会感到惊讶。你试过分析它吗？
你会失去一些精度。如果它对您有帮助的话，这是一个非常小的优化。
除法时间会随着使用的实际值而波动，也许乘法也会波动，因此为了公平比较，您应该从两个循环开始 value 相同。
在没有任何上下文的情况下，编译器可以用一些关于无穷大、NaN 和负数的条件替换任何一个循环，然后是一个简单的value = 0.0f;。

标签： c++ floating-point

【解决方案1】：

对于反转时重复出现的小数（即 1 / num 是重复出现的小数），我使用除法而不是乘法（例如 x / 2.2 而不是 x * 0.45454545454）。

众所周知，22/10 不能精确地用二进制浮点表示，因此您所要实现的不是乘以一个稍微不准确的值，而是除以一个稍微不准确的值。

事实上，如果目的是除以 22/10 或其他一些不一定能以二进制浮点数精确表示的实数值，那么乘法比除法更准确，因为它巧合的是，1/X 的相对误差小于 X 的相对误差。

另一个说明是，您的微基准运行到次正常数字，其中时间不代表正常浮点数的通常操作的时间，并且不久之后，value 为零，这再次意味着时间并不能代表正常数的乘法和除法的现实。正如 Mark Ransom 所说，您至少应该使两个测量的操作数相同：正如目前所写的那样，所有乘法运算都采用零操作数并导致零。此外，由于2.2 和0.45454545454 都具有double 类型，因此您的基准是测量双精度乘法和除法，如果您愿意通过双精度乘法实现单精度除法，则needs not involve any loss of accuracy （但您必须为1/2.2 提供更多数字）。

但不要让自己上当尝试修复微基准。 您不需要它，因为当 X 不能比 1/X 更精确地表示时，没有任何权衡。没有理由不使用乘法。

注意：你应该显式地乘以1 / X，因为/ X 和* (1 / X) 这两个操作有很大的不同，编译器不能自己进行替换。另一方面，您不需要将/ 2 替换为* 0.5，因为任何值得其盐分的编译器都应该为您做到这一点。

【讨论】：

【解决方案2】：

当乘以倒数与除以时，您会得到不同的答案，但在实践中这通常并不重要，而且性能提升是值得的。最多，倒数乘法的误差为 1 ULP，而除法的误差为 ½ ULP。但是做

a = b * (1.f / 7.f);

而不是

a = b * 0.142857f;

因为前者将为 1/7 生成最准确的 (½ ULP) 表示。

【讨论】：