问题：我知道递归是如何工作的，但我似乎无法理解这个问题的“最佳子结构”，这需要使用动态编程。
问题：找出总和等于给定数字的完美平方的最少数量。
假设我们要找到从 U 到 V 的最短路径。如果我们之间有一个节点 X，那么从 U 到 V 的最短路径将是从 U 到 X 的最短路径加上从 X 到 V 的最短路径。
我很难理解最小二乘问题如何遵循最优子结构属性。
【问题讨论】：
标签： algorithm dynamic-programming least-squares
据我了解，完美平方和的递推关系与最短路径的递推关系类似，如下所示。让
f(n) := minimum number of perfect squares which sum up to exactly n
那么一个合适的递归可以表述为
f(n) = min{ f(n-i) + f(i) : 0 < i < n }
这意味着必须考虑原始参数到两个加法的所有分区。直观地说，最短路径问题的“分裂点”是一个节点，而在完美平方问题中，它决定了如何划分为和数（然后进一步检查）。
【讨论】：
你没有正确地陈述属性，第三段应该这样改写：
假设我们要找到从 U 到 V 的最短路径。首先验证 U 和 V 是否直接链接，如果不是，则为 U 和 V 之间的每个节点 X 计算从 U 到 X 的最短路径加上最短路径从 X 到 V，最小的答案将是从 U 到 V 的最短路径，可能重复。
这适用于您的问题，因为您可以确定 介于 U 和 V 之间的节点 X 集合。对于 U=0 和 V=n，此集合是来自 @987654322 的所有数字@ 到 n-1，因为你在添加正数。
对于解决方案，使用数组来缓存从0 到i 的最小路径，对于从i 从0 到n，对于每个新值，线性搜索将产生最佳解决方案，总时间复杂度为 O(n2)。
您可以通过仅枚举小于或等于n 的完美平方来优化线性搜索。这个列表比整个数字列表短得多。它的长度实际上是 sqrt(n)，因此整体搜索的复杂度下降到 O(n3/2)。
缓存可以只是一对整数：路径的长度和最短路径之一上的中间 X 的值。这给出了 O(n) 的空间复杂度。
有问题的问题：找出与给定数相加的完美平方的最少个数。 已经被广泛研究了 17 个多世纪：Lagrange's four-square theorem，也被称为巴歇猜想丢番图在三世纪就知道了。它指出每个自然数都可以表示为四个整数平方的和。存在用于确定任何给定整数是否是 1、2、3 或 4 个完全平方和的解析解决方案。
【讨论】：