解决涉及对之间差异的算法挑战

Question

以下是我提出的一个算法问题，其动机是由一个我无法解决的更难的问题推动的。不幸的是，我也无法解决这个问题。

按递增顺序给您 n 个数字（n 介于 1 和 3*10^5 之间，因此需要线性运行时间）。每个数字的范围也从 1 到 3*10^5。对于从 1 到 3*10^5 的每个数字，将其表示为 z，您想找出有多少对数字具有 z 的成对差异。请阅读下面的示例以获得更清晰的信息。

数字：1,6,9
答：1对相差5（1,6），1对相差3（6,9），1对相差8（1,9）

数字：1,2,3,4
答：3对相差1（1,2 2,3 3,4），2对相差2（1,3 2,4），1对相差3（1,4） .

有没有一种数据结构可以用来在线性时间内解决这个问题？

Answer 1

这是一个 O(n polylog n) 时间算法来计算所有 z 的计数（假设我们最多有 n 个介于 1 和 n 之间的数字）。

准备两个多项式 P(x) = sum_{d in the list} x^d 和 Q(x) = sum_{d in the list} x^(n - d)。使用快速乘法算法计算多项式乘积 P(x) Q(x) 的系数。要查找 z 的答案，请检查 x^(n + z) 的系数，即

sum_{d in the list} sum_{e in the list} [d + n - e = n + z],

其中 [d + n - e = n + z] = [d - e = z] 如果 d - e = z 为 1，否则为 0。